线性方程组直接解法.ppt

第七章线性方程组的直接解法在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量的n个方程构成的线性方程组根据Gramer（克莱姆）法则，求解方程组（7.1）时，要计算大量的行列式，所需乘法次数大约为直接方法的特点是，如果不考虑计算过程中的舍入误差，运用此类方法经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解。§1Gauss消去法一、顺序Gauss消去法这样，对于方程组顺序Gauss消去法的消元过程可表述如下：其中其中增广矩阵[A（n），b（n）]对应如下上三角形方程组对于等价方程组首先写出增广矩阵然后进行消元，采用公式在编程计算时，最后的增广矩阵存放的元素是：消元过程：算法Gauss(A,a,b,n,x)用Gauss消去法解方程组，应注意：二列主元Gauss消去法此方程组具有四位有效数字的精确解为经回代求解得x3＝5.546，x2＝100.0，x1＝－104.0写出原方程组的增广矩阵：求得方程的解为：x3＝5.546，x2＝－45.76，x1＝17.46下面将列主元Gauss消去法的计算步骤叙述如下：3.再进行第二步消元得到增广矩阵[A（3），b（3）]。按此方法继续进行下去，经过n－1步选主元和消元运算，得到增广矩阵[A（n），b（n）]，它对应的方程组列主元Gauss消去算法5：消元计算，对于i＝k＋1，…，n，计算由于这两种方法的精度差不多，且全主元Gauss消去法程序设计复杂占用机器时间较多，实际应用中一般采用列主元Gauss消去法，它既简单又能保证计算精度。§2直接三角分解方法若，令，i＝2，3，…，n，若，令，i＝3，…，n，则有如此下去，施行第n－1步消元，得到由此可见，在顺序Gauss消去法的过程中，系数矩阵A＝A（1）经过一系列单位下三角矩阵的左乘运算约化为上三角矩阵A（n），即容易验证第一个方程组的系数矩阵为下三角矩阵，第二个方程组的系数矩阵为上三角矩阵，两个方程组都非常容易求解，具体求解结果如下：对于对于可以看出对于方程组：二、Doolittle分解法根据A=LU有等式成立：n可以解得：于是，对于矩阵的三角分解：下面，我们对具体矩阵进行Doolittle三角分解。例7-3利用Doolittle三角分解法分解矩阵1如果我们要求解方程组由（7.5）例7-4利用Doolittle三角分解方法解线性方程得到例7-5利用Doolittle三角分解方法解线性方程组123-4-2三、平方根法记Ak（1≤k≤n）为A的k阶顺序主子阵，则det（Ak）为A的k阶顺序主子式。由上式，利用矩阵分块运算规则，容易验证即：A=LDM，其中DM=U，M=D-1U。当A＝AT为对称矩阵时，根据A＝LDM,得到如果对称正定矩阵A具有如下分解A＝GGT，其中G为下三角矩阵，则称其为对称正定矩阵的Cholesky（乔列斯基）分解。Ly＝bLTx＝y比较对应元素：当i=j时于是，根据计算公式关于方程组Ax=b,如果对系数矩阵进行了平方根分解A＝LLT，则将方程组化为：Ly＝b,LTx＝y于是，关于系数矩阵是对称正定矩阵的线性方程组Ax=b的求解，分两步进行：例7-6用平方根法求解对称正定方程组得y1＝2，y2＝3.5，y3＝1关于对称正定方程组四、追赶法在此条件下，可对A进行三角分解，设i-1列i-1列i-1列于是，由以上结果：对于三对角方程组Ax＝b，设A的三角分解为A＝LU，则原方程组等价于由Ly＝b，即于是，对于三对角矩阵方程组Ax=b，如下的两组公式便构成了构成了解三对角方程组的追赶法：例7-7用追赶法求解三对角方程组2/11/2024求解方程组Ly＝y，即当三对角矩阵A满足对角占优条件时，追赶法是数值稳定的。1．五、三角分解方法的优点2.可以用以求可逆矩阵A的逆矩阵A－13.可以用以求矩阵A的行列式第七章总结第7章习题7-2利用列主元Gauss消去法解下列方程组Ax＝b，其中7-4对下列矩阵A进行LU分解7-6证明：用列主元Gauss消去法求解方程组Ax＝b相当于用Gauss消去法求解方程组PAx＝Pb，其中P是一个行排列矩阵，它是一些初等行变换矩阵的乘积矩阵。