52微积分基本公式习题.doc

1．设函数，求，。【解】由题设得，于是得，。2．计算下列各导数：⑴；【解】。⑵；【解】。⑶；【解】。⑷。【解】。3．设函数由方程所确定，求。【解法一】方程中完成积分即为，亦即为，得知，解出，得，于是得。【解法二】在方程两边对求导，注意到，得即得，亦即，解出，得，方程中完成积分即为，亦即为，得知，再将代入中，得。4．设，，求。【解】问题是由参数方程求导【解法一】。【解法二】。5．求下列极限：⑴；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得。⑵；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得----应用洛必达法则----再次应用洛必达法则。⑶；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得----应用洛必达法则----完成求导----整理。⑷。【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得----应用洛必达法则----完成求导----分子分母同消去----再次应用洛必达法则----分子分母同消去。6．当为何值时，函数有极值。【解】由给定的函数可见，其定义域为，由于，可得有唯一驻点，无不可导点，显见，当时，，当时，，可知，函数在点处取得极小值。7．计算下列定积分：⑴；【解】。⑵；【解】。⑶；【解】。⑷；【解】。⑸；【解】。⑹；【解】。⑺；【解】。⑻；【解】。⑼；【解】。⑽；【解】。⑾；【解】。⑿，其中。【解】。8．设，求在上的表达式，并讨论在内的连续性。【解】当时，；当时，；当时，；当时，，当时，，于是，，由于初等函数在内连续，初等函数在内连续，故要讨论在内的连续性，仅须讨论在处的连续性，由于，，且，可知在处连续，从而，在内连续。9．设，求在内的表达式。【解】当时，，当时，，当时，，于是得。10．设，求。【解】对等号两端在区间上积分，注意为常数，得即有，移项，整理即得。11．已知，求。【解】问题在于求出和，可应用上题的方法，对等号两端在区间上积分，注意和均为常数，得即有，移项、整理得，将其代入题目已知式，得，，再对上式的等号两端在区间上积分，得即有移项、整理得，最后得。12．设（），求。【解】由题设，得，且于是又得，从而有，这时有，代入，得，即，得到。13．设连续，若满足，求。【解】设，则，，于是，，再由题设，得，即得，两边求导得，即有，从而，？？？？14．设函数在区间上连续，在内可导且，，证明：在内有。【证明】任取，则由题设有，函数在区间上连续，在内可导且，那么对于函数，有，令，则由已知在内可导且，得恒成立，可知，在上单调递减，由于，得知在上成立，从而在上成立。再因的任意性，知在内有。证毕。