一阶倒立摆控制系统设计.doc

课程设计说明书课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：2023年2月25日到2023年3月8号课程设计（论文）任务书专业自动化班级0902101学生指导教师题目一阶倒立摆课程设计子题设计时间2023年2月25日至2023年3月8日共2周设计规定设计（论文）的任务和基本规定，涉及设计任务、查阅文献、方案设计、说明书（计算、图纸、撰写内容及规范等）、工作量等内容。1．建立一阶倒立摆数学模型2．做模型仿真实验（1）给出Matlab仿真程序。（2）给出仿真结果和响应曲线。3．倒立摆系统的PID控制算法设计设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定期间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真4．倒立摆系统的最优控制算法设计用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度和小车位移的稳定期间小于5秒（2）的上升时间小于1秒（3）的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。指导教师签字：系（教研室）主任签字：2023年3月5日目录一、建立一阶倒立摆数学模型41.一阶倒立摆的微分方程模型42.一阶倒立摆的传递函数模型63.一阶倒立摆的状态空间模型7二、一阶倒立摆matlab仿真9三、倒立摆系统的PID控制算法设计13四、倒立摆系统的最优控制算法设计23五、总结28六、参考文献29建立一阶倒立摆数学模型一方面建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。系统内部各相关参数定义如下：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和P为小车与摆杆互相作用力的水平和垂直方向的分量。图1-2小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由于所以等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：（1-8）设，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ<<1弧度，则可以进行近似解决：。用u代表被控对象的输入力F，运用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：（1-9）一阶倒立摆的传递函数模型对式(1-9)进行拉普拉斯变换，得：（2-1）注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：（2-2）或（2-3）假如令，则有：（2-4）（2-5）把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：整理后得到传递函数：（2-6）其中。一阶倒立摆的状态空间模型设系统状态空间方程为：（3-1）方程组（2-9）对解代数方程，得到解如下：（3-1）整理后得到系统状态空间方程：（3-2）（3-3）摆杆的惯量为，代入（1-9）的第一个方程为：得：化简得：（3-4）设则有：（3-5）4.实际系统的传递函数与状态方程实际系统的模型参数如下:M小车质量0.5Kgm摆杆质量0.2Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3mI摆杆惯量0.006kg*m*m代入上述参数可得系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：（4-1）（4-2）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：（4-3）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：（4-4）以小车加速度为输入的系统状态方程：（4-5）一阶倒立摆matlab仿真实际系统参数如下，按照上面给出的例子求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的matlab仿真。小车质量1.096Kg摆杆质量0.109Kg小车摩擦系数0.1N/m/sec摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m摆杆惯量0.0034kg*m*m采样时间0.005秒传递函数法Matlab程序如下：M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2;num=[m*L/q00]den=[1b*(I+m*L^2)/q-(M+m)*m*g*L/q-b*m*g*L/q0];[