第06讲 二次函数与幂函数 （讲）解析版.docx

第06讲二次函数与幂函数【学科素养】数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析【课标解读】1.了解二次函数、幂函数的概念掌握幂函数的图象和性质。2.了解幂函数的变化特征。【备考策略】1.与二次函数相关的单调性、最值问题除单独考查外多在题目中应用函数的图象和性质；2.幂函数的图象与性质的应用；3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质。【核心知识】知识点一幂函数(1)幂函数的定义一般地形如y＝xα的函数称为幂函数其中x是自变量α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0＋∞)上都有定义；②当α>0时幂函数的图象都过点(11)和(00)且在(0＋∞)上单调递增；③当α<0时幂函数的图象都过点(11)且在(0＋∞)上单调递减.知识点二二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)顶点坐标为(mn).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)x1x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b24a)＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞\f(4ac－b24a)))对称轴x＝－eq\f(b2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2a)\f(4ac－b24a)))奇偶性当b＝0时是偶函数当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞－\f(b2a)))上是减函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2a)＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞－\f(b2a)))上是增函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2a)＋∞))上是减函数【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0Δ<0))时恒有f(x)>0当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0Δ<0))时恒有f(x)<0.【高频考点】高频考点一幂函数的图象与性质例1.(2018·上海卷)已知α∈eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2－1－\f(12)))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(12)123)).若幂函数f(x)＝xα为奇函数且在(0＋∞)上递减则α＝______.【答案】－1【解析】由题意知α可取－113.又y＝xα在(0＋∞)上是减函数∴α<0取α＝－1.【方法技巧】幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)其中只有一个参数α因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时当α是分数时一般将其先化为根式再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0＋∞)上单调递增则α>0若在(0＋∞)上单调递减则α<0.【变式探究】(2021·衡水中学调研)已知点(m8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上．设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)))b＝f(lnπ)c＝f(2eq\s\up8(－eq\f(12)))则abc的大小关系是()A．a<c<bB．a<b<cC．b<c<aD．b<a<c【答案】A【解析】因为f(x)＝(m－1)xn为幂函数所以m－1＝1则m＝2f(x)＝xn.又点(28)在函数f(x)＝xn的图象上所以8＝2n知n＝3故f(x)＝x3且在R上是增函数．又lnπ>1>2eq\s\up8(－eq\f(12))＝eq\f(\r(2)2)>eq\f(13)所以f(lnπ)>f(2eq\s\up8(－eq\f(12)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)))则b>c>a.【变式探究】(2021·山西省晋城模拟)当0<x<1时f(x)＝x1.1g(x)＝x0.9h(x)＝x－2的大小关系是________．【解析】如图所示为函数f(x)g(x)h(x)在(01)上的图象由此可知h(x)>g(