（整理版）高二数学复合函数的导数（文）人教实验B.doc

高二数学复合函数的导数〔文〕人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：复合函数的导数［主要内容］复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数［学习目标］了解复合函数的概念会分解复合函数或合成复合函数；理解复合函数的求导法那么并会求导正确分解复合函数的复合过程做到不漏不重熟练正确。掌握对数函数指数函数的求导法那么。［考点分析］1、复合函数的概念对于函数令假设是中间变量u的函数是自变量x的函数那么称函数是自变量x的复合函数。2、复合函数的导数：首先要弄清复合函数的复合关系。它的求导法那么是：复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数即·或注：复合函数求导的根本步骤：分解——求导——相乘——回代。3、复合函数的求导法那么复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。4、对数函数的导数〔1〕〔2〕5、指数函数的导数〔1〕〔2〕【典型例题】例1、指出以下函数的复合关系〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。分析：由复合函数的定义可知中间变量的选择应是根本函数的结构。解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次。一般是以最外层开始由外及里一层一层地分析把复合函数分解成假设干个常见的根本函数逐步确定复合过程。解答：函数的复合关系分别是〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。例2、求以下函数的导数〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕例3、求以下函数的导数。〔其中是可导函数〕〔1〕；〔2〕。分析：对于抽象函数的求导一方面要从其形式上把握其结构特征另一方面要充分运用复合关系的求导法那么。先设出中间变量再根据复合函数的导数运算法那么进行求导运算。一般地假设中间变量可以直接对所设变量求导不需要再次假设如果所设中间变量可直接求导就不必再选中间变量。解：〔1〕解法一：设那么解法二：〔2〕解法一：设那么解法二：例4、求y＝〔0＜A＜【解法一】y＝〔0＜A＜∴y＝＝sin〔〕＋cos〔〕＝2[sin〔〕＋cos〔〕]＝2sin〔〕＝2cosy′＝(2cos)′＝－sin【解法二】y′＝()′＋()′＝(1－sinA)(－cosA)＋(1＋sinA)cosA＝∵A∈〔0〕＝[〔cos－sin〕－〔cos＋sin〕]＝－sin【解法三】∵0＜A＜y＝＋＝〔cos－sin〕＋〔cos＋sin〕＝2cosy′＝－sin【点评】解法一和解法三都是先化简但难易有别繁简差异较大恰中选择公式是关键。解法二是从和的导数求导数入手后面的化简较繁。例5、求y＝sin4x＋cos4x的导数。【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－〔1－cos4x〕＝＋cos4xy′＝－sin4x【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形简化求导数运算要注意变形准确。解法二是利用复合函数求导数应注意不漏步。例6、曲线在〔01〕处的切线与的距离为求的方程。解：∴曲线在〔01〕处的切线的斜率∴切线方程为设的方程为∴∴或6当时为：当时为：【模拟试题】〔答题时间：50分钟〕一、选择题〔本大题共6小题每题5分共30分〕1.函数的导数是〔〕A.B.C.D.2.那么等于〔〕A.B.2C.D.03.函数的导数是〔〕A.B.C.D.4.在处的切线方程是〔〕A.B.C.D.5.假设那么等于〔〕A.5B.20C.40D.06.某函数的导数是那么这个函数可能是〔〕A.B.C.D.二、填空题〔此题共4小题每题5分共20分〕7.那么等于________________。8.