（整理版）直线平面问题易错点分析.doc

直线、平面问题易错点分析直线、平面是立体几何的重要内容学生在学习这局部知识时经常因为概念不清、主观臆断、空间想象能力差而错解题目。下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下供大家参考一、概念不清例1如图1-1二面角为锐角E、F为两个面上的两点假设E、F到棱AB的距离EC=FD。求证：EF与平面所成的角也相等。αDEB错解如图1-1在平面内分别FCA过E、F作EC⊥AB、FD⊥AB垂足β为C、D。连结ED、FD。∵EC=DF图1-1CD=CD∴Rt△ECD≌Rt△FDC。∴ED=FC又EF=EF∴△ECF≌△FDE。∴∠EFC=∠FED。即EF与平面所成的角相等。辨析由题意EC只垂直AB而不垂直于平面根据直线与平面所成角的定义知∠EFC不是EF与平面所成的角而∠FED也不是EF与平面所成的角。因此以上证明是错误的造成错误的原因是对于直线与平面所成的角的概念不清。α正解如图1-2作EG⊥G、H为HE垂足。连结GF、EH那么∠EFG、∠FEH分DCBA别是EF与、所成的角。连结CG、DH。FG∵AB⊥EC由三垂线定理的逆定理得图1-2βAB⊥CG。∴∠ECG是二面角ABCDFE图2的平面角。同理∠FDH也是二面角的平面角。∴∠ECG=∠HDF。那么Rt△EGF≌Rt△FHE。那么∠EFG=∠FEH。故EF与平面所成的角也相等。二、主观臆断例2矩形ABCD中AB=3BC=4沿对角线AC折成直二面角求顶点B和D的距离。错解如图2在直二面角的面ADC内自D作DE⊥AC于E连BE、BD那么BD为所求的距离。∵DE⊥AC∴DE、BE同为两个全等直角三角形斜边AC上的高∴DE=BE=︰AC=〔4×3〕︰5=。∵平面ADC平面ABC∴∠DEB=90。∴BD==DE=。辨析错解中认为BE是Rt△ABC斜边上的高而BE并不垂直AC。造成错误的原因是主观臆断以猜想代替证明。正解作BF=DE=EC=DC︰AC=EF=AC--2EC=5-=。在Rt△BFE中BE==在Rt△BED中BD=。三、随意使用“同理可证〞ABCFMDNEαβ图3例3如图3平面平面线段分别交、于、线段分别交、于、线段分别交、于、假设求△和△的面积之比。错解∵∴平面分别交、于、。∴。同理。由等角定理得。∴△∽△。∴。∴。辨析在证明过程中如果两次证明的依据相同可以使用“同理可证〞。上述证明中平面于、交于、得平面于、交于、得可用“同理可证〞但就不能用“同理可证〞因为、可能共面也可能异面故不一定成立那么两个三角形不一定相似。正解∵平面分别交、于、。∴。同理。由等角定理得。∴。∴。∴。∴＝＝。∴。即△和△的面积之比为。。四、作图有误AEFDBCPQ图4－2例4如图4—1设二面角P-EF-Q从点A分别作AB⊥平面P作AC⊥平面Q假设.求二面角的度数。错解过三点的平面和平面分别交于、。∵EF⊥ACEF⊥AB。∴EF⊥平面ABDC。∴BD⊥EFCD⊥EF故∠BDC为所求二面角的平面角。由∠BAC=60°故∠BDC=120°即二面角的平面角P-EF-Q的度数为120°。AEFDBCPQ图4－1辨析满足条件：AB=3AC=1∠A=60°∠BDC=120°的四边形ABDC是不存在的。也就是说点A不可能在二面角内不而是在二面角外由于作图有误导致计算错误正解如图4－2过点A、B、C的平面与EF垂直故∠BDC为二面角。AD为A到EF的距离∵Rt△ADB、Rt△ACD在同一平面内且AD为公共边∴A、C、B、D四点公圆。∴∠BDC=∠BAC=60故所求二面角P-EF-Q两度数是60。五、考虑不周例5在直二面角的棱上任取一点从这点在两个面内作一条射线和棱成45角求这两条射线间的尖角。错解如图5-1直二面角d--AE且∠BAD=∠CAD=45BADCaαβ图5－1取AB=AC过B作BC⊥交AC于C连结BD∵Rt△BDA≌Rt△CDA.≌Rt△BDC∴AB=AC=BC.那么△BAC为正三角形。∴∠BAC=60°。辨析解题时因考虑不周只考虑了AC、AB同向的情况而漏掉了反向的情况。BDADCaαβ图5－2ED正解〔1〕如图5-1当AB、AC同向时∠BAC=60°。〔2〕如图5-2当AB、AC反向时取AB=AC=m作BD⊥a于DCE⊥a于E。这里∠BAD=∠CAE=45°在△BDA中BD=AD=m。在△DAC中DC=。在Rt△BDC中BC=在△ABC中∠BAC=。∴∠BAC=120°。BABAB1B1A1A1EFEFOaβαβ图6－1图6－2故所求两射线间的夹角为60°或120°。六、特殊代替一般例6平面∥平面线段AA′、BB′夹在两平行面之间假设E、F分别是线段AA′、BB′的中点。求证：EF∥平面EF∥平面错解如