2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十利用空间向量求线线角与线面角理北师大版.doc

-3-核心素养测评五十利用空间向量求线线角与线面角1.如图所示在正方体ABCD-A′B′C′D′中已知点H在正方形A′B′C′D′的对角线B′D′上∠HDA=60°.求DH与CC′所成的角的大小.【解析】如图所示以D为原点DA为单位长度建立空间直角坐标系D-xyz则=(100)=(001).设=(mm1)(m>0)由已知<>=60°由·=||·||·cos<>可得2m=解得m=所以=1因为cos<>==又因为0°<<><180°所以<>=45°即DH与CC′所成的角为45°.2.如图三棱柱ABC-A1B1C1中∠B1A1A=∠C1A1A=60°AA1=AC=4AB=2PQ分别为棱AA1AC的中点.(1)在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1并且交BC于点M并写出作图步骤但不要求证明.(2)若侧面ACC1A1⊥ABB1A1求直线A1C1与平面PQB1夹角的正弦值.【解析】(1)如图在平面ABB1A1内过点A作AN∥B1P交BB1于点N连接BQ在△BB1Q中作NH∥B1Q交BQ于点H连接AH并延长交BC于点M则AM为所求直线.(2)连接PC1AC1因为AA1=AC=A1C1=4∠C1A1A=60°所以△AC1A1为正三角形.因为P为AA1的中点所以PC1⊥AA1又因为侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1且面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1PC1平面ACC1A1所以PC1⊥平面ABB1A1在平面ABB1A1内过点P作PR⊥AA1交BB1于点R分别以的方向为x轴y轴z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则P(000)A1(020)A(0-20)C(0-42)C1(002).因为Q为AC的中点所以点Q的坐标为所以=(0-22)=(0-3).因为A1B1=AB=2∠B1A1A=60°所以B1(10)所以=(10)设平面PQB1的法向量为m=(xyz)由得令x=1得y=-z=-3所以平面PQB1的一个法向量为m=(1--3).设直线A1C1与平面PQB1的夹角为α则sinα===即直线A1C1与平面PQB1夹角的正弦值为.