2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十四利用空间向量求线线角与线面角苏教版.doc

-10-核心素养测评四十四利用空间向量求线线角与线面角一、选择题(每小题5分共25分)1.平面α的斜线l与它在这个平面上的射影l′的方向向量分别为a=(101)b=(011)则斜线l与平面α所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选C.l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)因为cos<ab>==所以<ab>=60°.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别为棱AA1和BB1的中点则sin<>的值为()A.B.C.D.【解析】选B.设正方体的棱长为2以D为坐标原点DA为x轴DC为y轴DD1为z轴建立空间直角坐标系可知=(2-21)=(22-1)cos<>=-sin<>=.3.已知△ABC与△BCD均为正三角形且AB=4.若平面ABC与平面BCD垂直且异面直线AB和CD所成角为θ则cosθ=()A.-B.C.-D.【解析】选D.如图因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直所以取BC中点O则AOBCOD两两垂直以O为原点建立如图空间直角坐标系O-xyz.则A(002)B(0-20)C(020)D(200)所以=(0-2-2)=(2-20)故cos<>==所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中EF分别为ABC1D1的中点则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.建系如图设正方体棱长为1则A1(101)E10F01B1(111).=(010)=0-1=-10.设平面A1EF的一个法向量为n=(xyz)则即令y=2则所以n=(121)cos<n>==.设A1B1与平面A1EF的夹角为θ则sinθ=cos<n>=即所求线面角的正弦值为.5.在正四棱锥S-ABCD中O为顶点在底面上的射影P为侧棱SD的中点且SO=OD则直线BC与平面PAC所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.如图以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a则A(a00)B(0a0)C(-a00)P0-则=(2a00)=-a-=(aa0)设平面PAC的一个法向量为n=(xyz)则解得可取n=(011)则cos<n>===又因为0°<<n><180°所以<n>=60°所以直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.二、填空题(每小题5分共15分)6.在三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABC∠BAC=90°DEF分别是棱ABBCCP的中点AB=AC=1PA=2则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________.【解析】以A为原点ABACAP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系由AB=AC=1PA=2得A(000)B(100)C(010)P(002)D00E0F01.所以=(00-2)=00=-1.设平面DEF的法向量为n=(xyz)则由得取z=1则n=(201)设直线PA与平面DEF所成的角为θ则sinθ=|cos<n>|==所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.答案:7.在三棱柱ABC-A1B1C1中侧棱A1A⊥底面ABCAC=1AA1=2∠BAC=90°若AB1与直线A1C的夹角的余弦值是则棱AB的长度是________.【解析】如图建立坐标系.设AB=a则A(000)B1(a02)A1(002)C(010)所以=(a02)=(01-2)所以|cos<>|===解得a=1所以棱AB的长度是1.答案:18.在三棱柱ABC-A1B1C1中底面边长和侧棱长都相等∠BAA1=∠CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.【解析】连接A1B交AB1于点O取A1C1的中点D连接B1DDO.因为OD分别为A1BA1C1的中点所以OD∥BC1所以∠DOB1或其补角即为异面直线AB1与BC1所成的角.设各棱长为a则DB1=a.因为∠A1AB=60°所以OB1=AO=a.又因为=+=+-所以=(+-)2=+2·+-2·-2·+=a2+2a2cos60°+a2-2a2cos60°-2a2cos60°+a2=2a2所以||=a所以OD=BC1=a.在△DOB1中由余弦定理得cos∠DOB1==所以AB1与BC1所成角的余弦值为.答案:三、解答题(每小题10分共20分)9.如图所示在正方体ABCD-A′B′C′D′中已知点H在正方形A′B′C′D′的对角线B′D′上∠HDA=60°.求DH与CC′所成的角的大小.【解析】如图所示以D为原点DA为单位长度建立空间直角坐标系D-xyz则=(100)=(001).设=(mm1)(m>0)由已知<>=60°由·=||·||·cos<>可得2m=解得m=所以=1因为cos<>=