新课改地区2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十椭圆新人教B版2020040801128.doc

12核心素养测评五十椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分共25分)1.(2019·北京高考)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【解析】选B.离心率平方e2===即4(a2-b2)=a2即3a2=4b2.2.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是x2+y2-6x+8=0的圆心且短轴长为8则椭圆的左顶点为()A.(-30)B.(-40)C.(-100)D.(-50)【解析】选D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1所以圆心坐标为(30)所以c=3又b=4所以a==5因为椭圆的焦点在x轴上所以椭圆的左顶点为(-50).3.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为椭圆上一点P到两焦点距离之和为12则椭圆短轴长为()A.8B.6C.5D.4【解析】选A.椭圆+=1(a>b>0)的离心率e==椭圆上一点P到两焦点距离之和为12即2a=12可得a=6c=2所以b===4则椭圆短轴长为2b=8.4.(多选)(2020·青岛模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点焦点F1F2在y轴上短轴长等于2离心率为过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点则下列说法正确的是()A.椭圆C的方程为+x2=1B.椭圆C的方程为+y2=1C.|PQ|=D.△PF2Q的周长为4【解析】选ACD.由已知得2b=2b=1=又a2=b2+c2解得a2=3.所以椭圆方程为x2+=1.如图:所以|PQ|===△PF2Q的周长为4a=4.5.已知点P(x1y1)是椭圆+=1上一点F1F2是左、右焦点若∠F1PF2取最大值时则△PF1F2的面积是()A.B.12C.16(2+)D.16(2-)【解析】选B.因为椭圆方程+=1所以a=5b=4c==3因此椭圆的焦点坐标为F1(-30)F2(30)根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时∠F1PF2取最大值则此时△PF1F2的面积S=2××3×4=12.二、填空题(每小题5分共15分)6.(2020·南阳模拟)已知O为坐标原点F为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点过点F且倾斜角为120°的直线与椭圆C交于第一象限一点P若△POF为正三角形则椭圆C的离心率为__________.【解析】因为|OF|=c△POF为正三角形所以|PO|=c则点P的坐标为故有整理得e4-8e2+4=0解得e2=4-2所以e==-1.答案:-17.以椭圆C:+=1在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为________;该双曲线的渐近线方程为________.【解析】椭圆C:+=1在x轴上的顶点为(±0)焦点为(±10)设双曲线的方程为-=1(a>0b>0)可得a=1c=b=2可得x2-=1.双曲线的渐近线方程为:y=±2x.答案:x2-=1y=±2x8.点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F圆M与y轴相交于PQ若△PQM是钝角三角形则椭圆离心率的取值范围是________.【解析】不妨设圆M与椭圆相切于左焦点F设M(-cyM)由圆的性质可知:|MF|=|MQ|=|MP|=|yM|则=-c2即|PQ|2=4-4c2由△MPQ为钝角三角形即∠PMQ为钝角则cos∠PMQ==<0所以2c2-<0.又因为M(-cyM)在椭圆上代入化简得=故2c2-<0化简得-4+1>0即e4-4e2+1>0解得e2<2-或e2>2+又e∈(01)所以e2<2-故0<e<即离心率的取值范围是.答案:三、解答题(每小题10分共20分)9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=且椭圆C经过点(2).(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(21)作直线l与该椭圆相交于AB两点若线段AB恰被点P所平分求直线l的方程.【解析】(1)由题意得解得a2=8b2=6所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意点P在椭圆内部设A(x1y1)B(x2y2)则两式相减得+=0AB的中点为P(21)所以x1+x2=4y1+y2=2代入上式得+=0得kAB==-.所以直线l的方程为y-1=-(x-2)即3x+2y-8=0.10.若A(x1y1)B(x2y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点且x1+x2=2.(1)若y1+y2=1求线段AB的垂直平分线的方程.(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.【解析】(1)设AB的中点为M则M1由得+(y1-y2)(y1+y2)=0所以(x1-x2)+(y1-y2)=0⇒=-即kAB=-所以线段AB的垂直平分线的斜率为所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1)即9x-2y-8=0.(2)由题意知AB斜率存在设直线AB:y=kx+m.由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0x1+x2=-=2即