线性离散系统的最优滤波kalman滤波.doc

5第二章线性系统的最优滤波和预测2.1线性离散系统的最优滤波假设系统分别由下列线性离散方程所描述：(2.1)式中且系统噪声和观测噪声为零均值白噪声序列即对所有有(2.2)假定初始状态有下列统计特性：(2.3)与、都不相关即(2.4)现在用正交投影法来推导线性离散系统的最优估计值的计算式。系统状态基于前次观测的线性最小方差估计应为在上的正交投影即(2.5)亦即使得估值与之间的误差的方差为最小即离散系统Kalman滤波问题可以分成三类：（1）称为预测（或外推）问题；（2）称为滤波（或估计）问题；（3）称为平滑（或内插）问题。我们在下面各节依次讨论离散线性系统和连续的最优滤波和最优预测方法。当时为最优滤波估计(2.6)由于(2.7)式中表示全体于是(2.8)由于与不相互独立根据条件期望公式有(2.9)其中下面推导(2.9)式中各项的表达式：由于与互不相关而且故(2.10)再来看(2.9)式等号右边第二项由于(2.11)而相对于独立且故(2.12)由于(2.13)将表达式(2.11)和(2.12)代入(2.13)式中得由于与相互独立故令(2.14)则(2.15)由(2.13)式得(2.16)将(2.10)式、(2.15)式和(2.16)式代入(2.9)式得(2.17)(2.17)式表示在时刻获得观测值后的最优估计值的计算式它是用时刻的观测值来修正递推值后得到的因而是一种递推估计通常称(2.17)式为Kalman滤波方程。令(2.18)则称为Kalman增益阵为预测误差协方差它可以由下式求得现在求滤波误差协方差阵的表达式。由于故(2.20)将代入上式即(2.21)综上所述最优滤波估计由以下递推公式给出：(2.22)我们称(2.22)式所表达的递推算法为Kalman滤波器(KF)实际应用中我们是在已知时刻状态的估计值和相应的估计误差协方差阵Kalman滤波器的滤波过程为算法的具体步骤：