2018年高考数学命题角度4.doc

-18-命题角度4.5：探究性问题1.在三棱柱中平面点在棱上且．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）当时求异面直线与的夹角的余弦值；（2）若二面角的平面角为求的值．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：(1)结合题中的空间直角坐标系计算可得异面直线与的夹角的余弦值为.(2)二面角的平面角为则平面的法向量据此列方程可解得的值为．．故异面直线与的夹角的余弦值为．设平面的法向量为则即令解得所以平面的一个法向量为．因为二面角的平面角为所以即解得或（舍）故的值为．点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想找出点或线的位置然后再加以证明得出结论；(2)假设所求的点或线存在并设定参数表达已知条件根据题目进行求解若能求出参数的值且符合已知限定的范围则存在这样的点或线否则不存在．2.如图在四棱锥中底面为平行四边形底面.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点使得二面角的平面角的余弦值为？若存在求出的值？若不存在说明理由.【答案】（1）见解析；（2）λ=.【解析】试题分析：（1）由线面垂直的性质勾股定理分别可得、从而得平面进而可得结果；（2）以为原点所在直线分别为x、轴轴轴建立如图所示坐标系分别求出平面与平面的一个法向量根据空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：(1)在ACD中AC=aCD=aAD=a由勾股定理得:CD⊥AC∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥CDAC面PACPA面PACPA∩AC=A∴CD⊥面PAC又∵CD面PCD∴平面PCD⊥平面PAC.(2)由(1)知:AB⊥AC又PA⊥底面ABCD∴以A为原点ABACAP所在直线分别为x轴y轴z轴建立如图所示坐标系则A(000)B(a00)C(0a0)D(-aa0)P(00a)假设点E存在且λ=则=λ(xEyE-azE)=λ(0-aa)∴xE=0yE=(1-λ)azE=λa=(a00)=(0(1-λ)aλa)=(-aa0)设平面BAE的法向量为=(x1y1z1)平面DAE的法向量为=(x2y2z2)则=(0λλ-1)=(λλλ-1)cos<>====由题意:|cos<>|=即:=3(2λ2-2λ+1)=2(3λ2-2λ+1)∴λ=∴棱PC上存在一点E使得二面角B-AE-D的平面角的余弦值为-且此时λ=.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求法向量以及面面垂直的判定定理属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.3.如图在棱长为2的正方体中分别是棱的中点点分别在棱上移动且.（1）当时证明：直线平面；（2）是否存在使面与面所成的二面角为直二面角？若存在求出的值；若不存在说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.（2）设平面的一个法向量为则由得于是可取.设平面的一个法向量为由得于是可取.若存在使面与面所成的二面角为直二面角则即解得显然满足.故存在使面与面所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题首先要熟悉各种证明的判定定理然后在进行证明要多总结题型对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角要注意每一个坐标的准确性4.如图在四棱锥中平面.(1)设点为的中点求证：平面；(2)线段上是否存在一点使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在试确定点的位置；若不存在请说明理由.【答案】（1）见解析（2）为中点【解析】试题分析：（1）先取的中点利用三角形中位线性质得再根据线面平行判定定理得平面.根据计算利用平几知识得再根据线面平行判定定理得平面.从而利用面面平行判定定理得平面平面.最后根据面面平行性质得平面.（2）一般利用空间直角坐标系研究线面角先根据条件建立恰当直角坐标系设立各点坐标利用方程组求出平面法向量根据向量数量积求出向量夹角最后利用线面角与向量夹角关系列方程解出点坐标确定其位置.试题解析：(1)证明取的中点连接则.因为平面平面所以平面.在中所以.而所以.因为平面平面所以平面.又因为所以平面平面.因为平面所以平面.（注：（1）问也可建系来证明）∴∴∴∴．∴线段上存在一点为中点.5.如图中是的中点将沿折起使点