高考数学 命题角度4.doc

命题角度4.3：空间中的折叠问题
1.如图，四边形为等腰梯形，，将沿折起，使得平面平面，为的中点，连接.

（1）求证：；
（2）求到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）到平面的距离为
【解析】试题分析：（1）在图中，作于，由平面几何知识可知，又平面平面所以平面，可证。（2）为的中点，到平面的距离等于到平面距离的一半，过作于，平面就是到平面的距离.

（2）如图，为的中点，到平面的距离等于到平面距离的一半.
而平面平面，所以过作于，又由则平面就是到平面的距离.
由图易得.
到平面的距离为.

2.已知下图中，四边形ABCD是等腰梯形，，，于M、交EF于点N，，，现将梯形ABCD沿EF折起，记折起后C、D为、且使，如图示．

(Ⅰ)证明：平面ABFE；,
(Ⅱ)若图中，，求点M到平面的距离．
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)．
【解析】试题分析：（I）折叠前后，⊥EF、MN⊥EF，故EF⊥平面，故.利用勾股定理可证得，所以平面ABFE；（II）设点M到平面的距离为h，,，利用勾股定理证明，利用等体积法可求得点M到平面的距离为.
试题解析：
(Ⅰ)可知，∴⊥EF、MN⊥EF，

又，得EF⊥平面，
得，
∵∴，
又，∴平面ABFE．

∴，
，又，
代入①式，得，解得，
∴点M到平面的距离为．
3.如图1，在边长为4的正三角形中，分别为的中点，为的中点.将与分别沿同侧折起，使得二面角与二面角的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体.

（1）在多面体中，求证：四点共同面；
（2）求多面体的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由已知条件可证明平面和平面，所以，故四点共同面；
（2）利用体积分割求.

（2）因为平面，平面，，所以是四棱锥的高，点到平面的距离等于点到平面，又，，，所以.
4.以为直径的圆经过、两点，延长、交于点，将沿线段折起，使点在底面的射影恰好为的中点.若，，线段、的中点分别为.

（1）判断四点是否共面，并说明理由；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）四点不共面.（2）
【解析】试题分析：（1）证明四点不共面,基本方法为反证法,即假设四点共面,则由线线平行得到线面平行平面,再由线面平行得到线线平行,与条件相交矛盾,反设不成立,得到结论,（2）求四棱锥的体积,关键在于求高,而高的寻求往往借助于线面垂直关系得到,本题根据面面垂直性质定理得到线面垂直,，所以为四棱锥的高,再代入体积公式即可.
试题解析：（1）假设四点共面，因为，平面，所以平面，
又因为平面平面，平面，所以，与已知矛盾，所以四点不共面.

（2）由题意，又，于，
所以平面
所以平面平面，点在底面的射影恰为的中点，所以，所以为四棱锥的高，，
∴，，∴
∴，，，线段的中点为，
所以点到平面的高为
连接，所以，，
5.如图（1），五边形中，.如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与所成角的正切值为，设，求四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：
（1）要证明面面垂直，一般先证线面垂直，题中已知平面，由于是的中点，只要取的中点，可证，从而得平面，因此就得到面面垂直；
（2）由（1）的垂直可证是等边三角形，因此有，再得，于是有平面，可得，这样可求得图形中各线段长，可得四棱锥的底面积和高，得体积．
试题解析：
（1）证明：取的中点，连接，则，
又，所以，
则四边形为平行四边形，所以，
又平面，
∴平面，

∴平面平面PCD；

所以
所以.
，∴为直线与所成的角，
由（1）可得，∴，∴，
由，可知，
则.
6.如图（1）所示，已知四边形是由直角△和直角梯形拼接而成的，其中
.且点为线段的中点，，现将△沿进行翻折，使得二面角
的大小为，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.

（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
(1)利用线面垂直的判断定理可证得平面，则.
(2)利用体积的比值结合体积公式可得点到平面的距离为.
试题解析：
（Ⅰ）因为平面平面，
又，所以平面．
又平面，
所以．
在直角梯形中，，，，
所以，
又，
所以，
即，
又，
所以平面．
因为平面，所以.
（Ⅱ）设点到平面的距离为，
因为，且，
所，
即，故点到平面的距离为.
7.如图，在矩形中，分别为的中点，现将沿折起，得四棱锥.

（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求四面体的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）取线段的中点，连接，只需证明四边形为平行四边形，即有，可得；
（2）先证平面，进而四面体的体积.
试题解析：
(1)取线段的中点，连接，因为为的中点，所以，