物理极值问题的求解方法1.docx

物理极值问题的求解方法1物理极值问题的求解方法1随着教改的不断深入物理教学更加结合实际物理习题的题型不断拓宽。在中学物理竞赛及高考试卷中都出现了一些具有一定难度的求极值问题。求极值的一般方法是用导数求解。但中学生还没有学过关于异数的数学知识。本专题将分若干小专题分别介绍符合中学生数学基础的解决极值问题的方法。一、几何法求极值在初中几何中我们曾经学过“点到直线的距离以垂线为最短。”此结论对于求极小值问题是一条捷径。例1.如图1-1所示船A从港口P出发去拦截正以速度υ0沿直线航行的船B。P与B所在航线的垂直距离为aA起航时与B船相距为bb>a。如果略去A船起动时的加速过程认为它一起航就匀速运动。则A船能拦截到B船的最小速率为多少？分析与解：分析本题是两个运动物体求它们之间的相对位置的问题。若以地球为参照系两个物体都运动且运动方向不一致它们之间的相对位置随时间变化的关系比较复杂一时不容易做出正确的判断与解答。但如果把参照系建立在某一运动的物体上（如B上）由于以谁为参照系就认为谁不动此题就简化为一个物体（如A）在此运动参照系的运动问题了。当然解一个物体的运动问题比解两个物体都运动的问题自然容易多了。以B为参照系B不动在此参照系中A将具有向左的分速度υ0如图1-2所示。在此参照系中A只要沿着PB方向就能拦截到B。应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论。过O点作PB的垂线交PB于E点OE即为A船对地的速度的最小值υA在AOE中υA=υ0Sinθ而由于灵活运用了几何知识使较为复杂的问题变为简单的几何问题了。例2.如图1-3所示重为G的物体与水平地面的动摩擦因数为μ欲以一个拉力F使物体沿地面匀速前进。问F与水平地面的夹角θ为何值时最省力？这个最小拉力是多大？分析与解：画出物体的受力分析图如图1-4所示。物体受到四个力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面对物体的滑动摩擦力f其中f=Nμ。这四个力为共点力合力为零。可将N与f合成为一个力N′N与f的作用将被N′等效N′与N、f的关系满足平行四边形法则。再画出物体受N′、G、F的力的矢量三角形如图1-5所示。N′的方向如图应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论。过B点作N′的垂线交N′于C点则BC的长度即表示最小作用力Fmin由于Fmin与水平面夹角为θ∠CAB=∠θFmin=Gsinθ由图1-6可知即θ=arctanμ几何法一般用于求极小值问题其特点是简单、直观把物体运动的较为复杂的极值问题转化为简单的几何问题去解便于学生掌握。