浅谈二项式系数的求法.docx

浅谈二项式系数的求法二项式定理有关问题几乎每年高考都涉及到且常常是以考查二项式系数问题的形式出现.本文例析几种常用的解决方法供参考.一、通项公式法例1如果[3x-1x23n]的展开式中各项系数之和为128则展开式中[1x3]的系数是（）A.7B.[-7]C.21D.[-21]解析由通项公式得[Tr+1=Crn（3x）n-r-1x23r=（-1）r?3n-r?Crn?xn-5r3].令[x=1]即[（3-1）n]=128得[n=7].由[n-5r3=-3]解得[r=6].故[1x3]的系数是（-1）6・3・[C67]=21.答案C点拨分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同常规解法是利用通项公式[Tr+1=Crnan-rbr]先确定[r]再求其系数.通项公式法是解决二项式系数问题最常用的一种方法.二、转化法例2[（x2+1x+2）5]的展开式中整理后的常数项为.解析[（x2+1x+2）5]=[x2+22x+22x5][=[（x+2）2]5（2x）5=（x+2）10（2x）5].本题转化为二项式问题即要得所求式的常数项转化为求分子[（x+2]）10的[x]的5次项的系数.而分子[x]的5次项为[T5=C510x5（2）5].常数项为[C510?（2）525]=[6322].点拨把多项式通过弃项、配方、分拆、合并等技巧化归为二项式问题来解决.三、赋值法例3若[（1-2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004][（x∈R）]则[（a0+a1）]+[（a0+a2）]+[（a0+a3）]+…+[（a0+a2004）]=.（用数字作答）分析本小题主要考查二次展开式的系数问题利用“赋值法”解决此类问题.解令[x=0]得[a0=1].令[x=1]得[a0+a1+a2+…+a2004]=1.原式=2004[a0]+[（a1+a2+…+a2004）]=2003[a0]+[（a0+a1+a2+…+a2004）]=2004答案2004点拨特别是用于求所有项、奇数项、偶数项的系数和问题常用赋值法解决.四、数列求和法例4在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展开式中含x3的项的系数是（）A.74B.121C.-74D.-121解先求和再求系数.原式=[（1-x）5[1-（1-x）4]1-（1-x）=（1-x）5-（1-x）9x]求x3的项的系数等价于求[（1-x）5-（1-x）9]中x4的项的系数即为[C45-C49]=-121.答案D点拨以上两种求展开式的系数的方法都是借助数列的求和进行的是常用方法之一.