方程在数学建模中的思想及应用.docx

方程在数学建模中的思想及应用1引言数学模型的难点在于建模的方法和思路目前学术界已经有各种各样的建模方法例如概率论方法、图论方法、微积分方法等本文主要研究的是如何利用方程思想建立数学模型从而解决实际问题。实际生活中的很多问题都不是连续型的例如人口数、商品价格等都是呈现离散型变化的趋势碰到这种问题可以考虑采用差分方程或差分方程组的方式进行表示。有时候人们除了想要了解问题的起因和结果外还希望对中间的速度以及随时间变化的趋势进行探索这个时候就要用到微分方程或微分方程组来进行表示。以上只是简单的举两个例子其实方程的应用极为广泛只要有关变化的问题都可以考虑利用方程的思想建立数学模型例如常见的投资、军事等领域。利用方程思想建立的数学模型可以更为方便地观察到整个问题的动态变化过程并且根据这一变化过程对未来的状况进行分析和预测为决策的制定和方案的选择提供参考依据。利用方程建立数学模型时就想前文所说的那样如果是离散型变化问题可以考虑采用差分思想建模如果是连续型变化问题可以考虑采用常微分方程建立模型。对于它们建模的方式方法可以根据几个具体的实例说明。2方程在数学建模中的应用举例2．1常微分方程建模的应用举例正如前文所述常微分方程的思想重点是对那些过程描述的变量问题进行数学建模从而解决实际的变化问题这里举一个例子来说明。例1人口数量变化的逻辑斯蒂数学方程模型在18世纪的时候很多学者都对人口的增长进行了研究英国的学者马尔萨斯经过多年的研究统计发现人口的净相对增长率是不变的也就是说人口的净增长率和总人口数的比值是个常数根据这一前提条件建立人口数量的变化模型并且对这一模型进行分析研究找出其存在的问题并提出改进措施。解:假设开始的时间为t时间的间隔为Δt这样可以得出在Δt的时间内人口增长量为N(t+Δt)－N(t)=rN(t)Δt由此可以得出以下式子。dN(t)dt=rN(t)N(t0)=N{0(1)对于这种一阶常微分方程可以采用分离变量法进行求解最终解得N(t)=N0er(t－t0)而后将过去数据中的r、N0带入上述式子中就可以得出最后的结果。这个式子表明人口数量在自然增长的情况下是呈指数规律增长的而且把这个公式对过去和未来的人口数量进行对比分析发现还是相当准确的但是把这个模型用到几百年以后就可以发现一些问题了例如到2670年的时候如果仍然根据这一模型那么那个时候世界人口就会有3．6万亿这已经大大的超过了地球可以承受的最大限度所以这个模型是需要有前提的前提就是地球上的资源对人口数量的限制。荷兰的生物学家韦尔侯斯特根据逻辑斯蒂数学方法和实际的调查统计引入了一个新的常数Nm这个常数就是用来控制地球上所能承受的最大人口数将这一常数融入逻辑斯蒂方程可以得出以下的式子。dN(t)dt=rN(t)(1－N(t)Nm)N(t0)=N{0(2)该方程解为N(t)=Nm1+NmN0e－r(t－t0)一个新的数学模型建立后首先要做的就是验证它的正确性经过研究发现在1930年之前的验证中还是比较吻合的但是到了1930年之后用这个模型求出的人口数量就与实际情况存在很大的误差而且这一误差呈现越来越大的变化趋势。这就说明当初设定的人口极限发生了变化这是由于随着科学技术的不断进步人们可以利用的资源越来越多导致人口极限也呈现变大的趋势。2．2差分方程建模的应用举例如前文所言对于离散型问题可以采用差分方程的方法建立数学模型。例如以25岁为人类的生育年龄就可以得出以下的数学模型。yk+1－yk=ryk(1－ykN)k=012…即为yk+1=(r+1)yk［1－r(r+1)Nyk］其中r为固有增长率N为最大容量yk表示第k代的人口数量若yk=N则yk+1yk+2…=Ny*=N是平衡点。令xk=r(r+1)Nyk记b=r+1。xk+1=bxk(1－xk)这个方程模型是一个非线性差分方程在解决的过程中我们只需知道x0就可以计算出xk。如果单纯的考虑平衡点就会有下面的式子。x=f(x)=bx(1－x)则x*=rr+1=1－1bx因为f''(x*)=b(1－2x*)=2－b当|f''(x*)|＜1时稳定当|f''(x*)|＞1时不稳定。所以当1＜b＜2或2＜b＜3时xkk∞x*．当b＞3时xk不稳定。2．3偏微分方程建模的应用举例在实际生活中如果有多个状态变量同时随时间不断的变化那么这个时候就可以考虑采用偏微分方程的方法建立数学模型还是以人口数量增长模型为例根据前文分析已经知道建立的模型都是存在一定的局限性的对于人类来说必须要将个体之间的区别考虑进去尤其是年龄的限制这时的人口数量增长模型就可以用以下的式子来表示。p(tr)t+p(tr)r=－μ(tr)p(tr)+φ(tr)p(0r)=p0(r);p