平面向量数量积的运算.docx

平面向量数量积的运算平面向量数量积是新课程中平面向量的重要内容是高中数学三角函数、平面几何、解析几何等章节知识的交汇点因此受到高考命题者的青睐.但这也成为众多学生眼里的知识难点尤其在方法的选择上存在着很大的盲目性.下面就最近几年各地高考或模拟试卷上出现的题目做简要的归类希望能给广大考生提供参考.一、定义法所谓定义法顾名思义就是利用平面向量数量积的定义·=||·||·cosθ（其中与之间的夹角）直接进行运算.例1：（2005湖南）已知直线ax+by+c=0与圆O：x+y=1相交于A、B两点且|AB|=则·？摇？摇？摇？摇.解析：易知和的模即为圆的半径1而根据直线与圆相交的性质可以得到两向量之间的夹角为120°因此·=1×1×cos120°=-.例2：（2004浙江）已知平面上三点A、B、C满足||=3||=4||=5则·+·+·的值等于？摇？摇？摇？摇.解析：尽管该题目的解法较多但是从定义入手还是比较直观明朗的：·=||×||×cos（π-B）=-12cosB=-12×=0·=||×||×cos（π-C）=-20cosC=-20×=-16·=||×||×cos（π-A）=-15cosA=-15×=-9最后三者相加为-25.需要提醒学生的是本题中各个向量之间的夹角一定要平移到“共起点”再运算.小结：用定义来计算平面向量的数量积思维较为单一目标十分明确该类题目的关键是要明确两个向量各自的模跟两者夹角的大小.但是参照近几年全国各地的高考试题很多考查数量积的题目其涉及的模和夹角并不明朗.因此处理平面向量数量积的另一个重要手段便呼之欲出.二、分解转化法所谓分解转化法即在具体问题中根据原有图形对所求问题中涉及的向量进行分解化为用一组基底表示的向量处理.如果能合理地选择基底该方法便能大大减少运算量达到事半功倍之效果.但是笔者在日常的教学过程中发现很多学生对分解转化较为生疏尤其在基底的选择上存在着很大的困惑.下面就近几年来各地模考卷及高考试题中出现的数量积问题作简要分析.例3：在平行四边形ABCD中已知AB=2AD=1∠BAD=60°E为CD的中点则·=？摇？摇？摇？摇.解析：本题中无论是还是的模都不清楚两者的夹角也不明确因此用定义法显然是不合适的.但是根据向量加法的定义可以得到=+=+=+这样所求数量积中涉及的两个向量都与已知条件中的AB和AD产生了联系问题自然就能轻松解决：·=--·=1-2-×1×2×cos50°=-.例4：如图扇形AOB的弧的中点为M动点CD分别在线段OAOB上且OC=BD.若OA=1∠AOB=120°则·的取值范围是？摇？摇？摇？摇.解析：本题中已知的量是半径MO因此尽可能把所求的和向靠拢.根据向量加法易得到·=（+）（+）=+·+·+·设OC=x则OD=1-x·=1+（1-x）cos120°+xcos120°+x（1-x）cos120°=x-x+由x∈[01]得·的取值范围为[].例5：（2008年苏州市一模）已知中心在原点O焦点在x轴上的椭圆C的离心率为点AB分别是椭圆C的长轴、短轴的端点点O到直线AB的距离为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点E（30）设点P、Q是椭圆C上的两个动点满足EPEQ求·的取值范围.解析：（1）略椭圆方程为+=1.（2）由于PQ两点都是动点很显然无法通过定义直接表示·.这时要抓住EPEQ这一核心条件将向量转化成跟与有关的结果即·=（+）=从而将所求的量转化成两点之间的距离的运算.设P（xy）则=（x-3）+y由y=9-x得·=x-6x+18=（x-4）+6由于-6≤x≤6因此·的取值范围为[681].例6：（2012年上海高考）在平行四边形ABCD中∠A=边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点且满足=则||·||的取值范围是？摇？摇？摇？摇.解析：本题中与已知条件有关的向量是和因此就找到了、的化简方向.记==λ（0≤λ≤1）则=λ=（1-λ）.结合向量的加法得到·=（+）（+）=（+λ）[+（1-λ）]=（1-λ）+λ+[1+λ（1-λ）]·.再由向量数量积的定义得到·=1经整理·=λ-2λ+5（0≤λ≤1）所以当λ分别等于0和1时·取得最大值5和最小值2.小结：该方法的实质就是化归思想的体现.根据上述几例不难发现基底的选择往往与题目中的已知条件有着密切的联系.因此处理该类问题时可以根据向量加法及数乘等知识将所求数量积中的向量跟已知量（通常是某些图形的边长）联系起来再