高三数学七数学解题方法素材.doc

4七、数学解题方法一、换元法“换元”的思想和方法在数学中有着广泛的应用灵活运用换元法解题有助于数量关系明朗化变繁为简化难为易给出简便、巧妙的解答。在解题过程中把题中某一式子如f(x)作为新的变量y或者把题中某一变量如x用新变量t的式子如g(t)替换即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换得到结构简单便于求解的新解题方法通常称为换元法或变量代换法。用换元法解题关键在于根据问题的结构特征选择能以简驭繁化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论是多种多样的常用的有有理式代换根式代换指数式代换对数式代换三角式代换反三角式代换复变量代换等宜在解题实践中不断总结经验掌握有关的技巧。例如用于求解代数问题的三角代换在具体设计时宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则才能谋取恰当的三角代换。换元法是一种重要的数学方法在多项式的因式分解代数式的化简计算恒等式、条件等式或不等式的证明方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解函数表达式、定义域、值域或最值的推求以及解析几何中的坐标替换普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中都有着广泛的应用。二、消元法对于含有多个变数的问题有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式）通过适当的变形消去一部分变数使问题得以解决这种解题方法通常称为消元法又称消去法。消元法是解方程组的基本方法在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中也有着重要的应用。用消元法解题具有较强的技巧性常常需要根据题目的特点灵活选择合适的消元方法。三、待定系数法按照一定规律先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程）其中含有若干尚待确定的未知系数的值从而得到问题的解。这种解题方法通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数称为待定系数。确定待定系数的值有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。（一）比较系数法比较系数法是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组）由此求得待定系数的值。比较系数法的理论根据是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等即a0xn+a1xn-1+…+an≡b0xn+b1xn-1+…+bn的充分必要条件是a0=b0a1=b1……an=bn。（二）特殊值法特殊值法是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式由此求得待定系数的值。特殊值法的理论根据是表达式恒等的定义：两个表达式恒等是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母恒等式左右两边的值总是相等的。待定系数法是一种常用的数学方法主要用于处理涉及多项式恒等变形问题如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。四、判别式法实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①的判别式△=b2-4ac具有以下性质：＞0当且仅当方程①有两个不相等的实数根△＝0当且仅当方程①有两个相等的实数根；＜0当且仅当方程②没有实数根。对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)②它的判别式△=b2-4ac具有以下性质：＞0当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；△＝0当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；＜0当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。利用判别式是中学数学的一种重要方法在探求某些实变数之间的关系研究方程的根和函数的性质证明不等式以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面都有着广泛的应用。在具体运用判别式时①②中的系数都可以是含有参数的代数式。从总体上说解答数学题即需要富有普适性的策略作宏观指导也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来创造性地加以运用才能成功地解决面临的问题获取良好的效果。五、分析法与综合法分析法和综合法源于分析和综合是思维方向相反的两种思考方法在解题过程中具有十分重要的作用。在数学中又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法后者称为综合法。具体的说分析法是从题目的等证结论或需求问题出发一步一步的探索下去最后达到题设的已知条件；综合法则是从题目的已知条件出发经过逐步的逻辑推理最后达到待证的结论或需求问题。六、数学模型法