例谈函数思想在解题中的应用.docx

例谈函数思想在解题中的应用函数是中学数学中最重要的概念之一内容十分丰富构成了一个完整的知识体系.在数学学习中我们应重视培养以函数为桥梁根据实际问题建立函数观念灵活应用函数思想与方法去分析和解决问题的能力.函数思想方法就是要用运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、处理问题.利用函数处理问题须深刻理解熟练掌握各种函数的具体特征及函数的单调性、最值、图象变换等这是利用函数思想解题的必备基础.同时要善于观察问题的结构特征揭示内在联系挖掘隐含的特征从而恰当构造函数和准确利用函数性质使问题得以解决.例1：已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两实根一个小于1另一个大于1求实数k的取值范围.分析：若直接利用求根公式解答此题则要解复杂的无理不等式组如果从函数观点出发令f（x）=kx2-2x-3k-2则由根的分布函数f（x）的图象只能如图1图2所示.对应的条件分别是k>0f（1）图1图2解：由以上分析可知令f（x）=kx2-2x-3k-2为使方程f（x）=0的两实根一个小于1另一个大于1只需k>0f（1）即k>02k-2-3k-20或k评注：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的典型例题一般地关于根的分布问题均可引入函数由函数图象的特征构造解法使问题得到巧妙解决.例2：设abc∈R且它们的绝对值都不大于1求证ab+bc+ca+10：.分析：构造函数f（a）=ab+bc+ca+1f（a）是关于a的一次函数由于a∈[-11]因此只要证明f（-1）0且f（1）就能证明f（a）0.证明：设f（a）=（b+c）a+bc+1（a）是关于a的一次函数.abc∈Rf（1）=b+c+bc+1=b（1+c）+（c+1）=（b+1）（c+1）0f（-1）=-b-c+bc+1=b（c-1）+（1-c）=（1-b）（1-c）0.f（a）在[-11]上恒为负.ab+bc+ca+10.评注：本题解法的关键在于要具有函数意识能结合式子的特征构造出一次函数从而根据一次函数的图象性质使问题得以解决.例3：对任意的a∈[-11]函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值总大于0试求x的取值范围.分析：观察所给的函数式如果看作关于的二次函数式则感到无从下手如果重新调整函数关系式写成关于的一次函数利用一次函数的单调性则问题便迎刃而解.解：视f（x）为a关于的函数令g（x）=（x-2）a+（x-2）2（a≠0）为关于a的一次函数故须使g（a）在a∈[-11]上恒大于0则g（1）>0g（-1）>0解得x3.评注：一般地对于一次函数f（x）=mx+b（m≠0）在x∈[αβ]范围内f（x）>0恒成立等价于f（α）>0f（β）>0