2021高考数学一轮复习课时作业15导数与函数的极值最值理.doc

7课时作业15导数与函数的极值、最值[基础达标]一、选择题1．[2019·辽宁辽阳期末]函数f(x)＝x3－3lnx的最小值为()A．0B．1C．2D．3解析：函数f(x)＝x3－3lnx的定义域为(0＋∞)．可得f′(x)＝eq\f(3x3－3x)＝eq\f(3x－1x2＋x＋1x)令f′(x)＝0可得x＝1所以x∈(01)时f′(x)<0函数f(x)是减函数；x∈(1＋∞)时f′(x)>0函数f(x)是增函数所以函数f(x)的最小值为f(1)＝1.故选B.答案：B2．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形作成一个无盖的盒子则盒子容积的最大值为()A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3解析：设盒子容积为ycm3盒子的高为xcm则x∈(05)则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x所以y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0得x＝2或eq\f(203)(舍去)所以ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案：C3．[2019·皖中名校第二次联考]已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m>－2e是自然对数的底数)有极小值0则其极大值是()A．4e－2或(4＋ln2)e－2＋2ln2B．4e－2或(4＋ln2)e2＋2ln2C．4e－2或(4＋ln2)e－2－2ln2D．4e－2或(4＋ln2)e2－2ln2解析：由题意知f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex＝(x＋2)(x－m)ex.由f′(x)＝0得x1＝－2x2＝m.因为m>－2所以函数f(x)在区间(－∞－2)和(m＋∞)内单调递增在区间(－2m)内单调递减．于是函数f(x)的极小值为f(m)＝0即(m2－m2－m)em＋2m＝0(2－em)m＝0解得m＝0或m＝ln2.当m＝0时f(x)的极大值为f(－2)＝4e－2.当m＝ln2时f(x)的极大值为f(－2)＝(4＋ln2)·e－2＋2ln2.答案：A4．[2020·吉林三校联合模拟]若函数f(x)＝eq\f(2－mxx2＋m)的图象如图所示则m的范围为()A．(－∞－1)B．(－12)C．(02)D．(12)解析：f′(x)＝eq\f(x2－mm－2x2＋m2)＝eq\f(x－\r(m)x＋\r(m)m－2x2＋m2)由函数图象的单调性及有两个极值点可知m－2<0且m>0故0<m<2.又由题图易得函数的极大值点大于1故eq\r(m)>1即m>1.故1<m<2故选D.答案：D5．[2019·广东广州第二次模拟]已知函数f(x)＝ex－ex＋a与g(x)＝lnx＋eq\f(1x)的图象上存在关于x轴对称的点则实数a的取值范围为()A．[－e＋∞)B．[－1＋∞)C．(－∞－1]D．(－∞－e]解析：若函数f(x)＝ex－ex＋a与g(x)＝lnx＋eq\f(1x)的图象上存在关于x轴对称的点则方程ex－ex＋a＝－(lnx＋eq\f(1x))在(0＋∞)上有解即a＝ex－ex－lnx－eq\f(1x)在(0＋∞)上有解．令h(x)＝ex－ex－lnx－eq\f(1x)则h′(x)＝e－ex－eq\f(1x)＋eq\f(1x2)＝e－ex＋eq\f(1－xx2)所以当0<x<1时h′(x)>0当x>1时h′(x)<0所以函数h(x)在(01)上单调递增在(1＋∞)上单调递减所以h(x)在x＝1处取得最大值－1所以h(x)的值域为(－∞－1]所以a的取值范围是(－∞－1]．故选C.答案：C二、填空题6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10则f(2)＝________.解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10∴f(1)＝10且f′(1)＝0即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＋a2＝103＋2a＋b＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4b＝－11.))而当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3b＝3))时函数在x＝1处无极值故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16∴f(2)＝18.答案：187．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x则f(x)的最小值是________．解析：f′(x)＝