湘教版九年级数学下册练习：小专题(八) 圆中常见辅助线的作法.doc

小专题(八)圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算弦心距来中间站．圆上若有一切线切点圆心半径连．要想证明是切线半径垂线仔细辨．是直径成半圆想成直角径连弦．弧有中点圆心连垂径定理要记全．圆周角边两条弦直径和弦端点连．还要作个内切圆内角平分线梦圆．三角形与扇形联姻巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图在⊙O中AB为⊙O的弦CD是直线AB上的两点且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．证明：连接OAOB.∵OAOB是⊙O的半径∴OA＝OB.∴∠OAB＝∠OBA.∴∠OAC＝∠OBD.在△AOC和△BOD中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OB∠OAC＝∠OBDAC＝BD))∴△AOC≌△BOD(SAS)．∴OC＝OD即△OCD是等腰三角形．二、半径与弦长计算弦心距来中间站在圆中求弦长、半径或圆心到弦的距离时常过圆心作弦的垂线段再连接半径构成直角三角形利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中已知任意两个可求另一个．2．如图水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m其中水面的宽AB为0.8m求排水管内水的深度．解：过点O作OC⊥AB垂足为C交⊙O于点DE连接OA.OA＝0.5mAB＝0.8m.∵OC⊥AB∴AC＝BC＝0.4m.在Rt△AOC中OA2＝AC2＋OC2∴OC＝0.3m则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径——构造直径所对的圆周角构造直径所对的圆周角这是圆中常用的辅助线作法可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图AB为⊙O的直径弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°∠ADC＝50°求∠CEB的度数．解：连接BD.∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝50°∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.∵eq\o(BC\s\up8(︵))＝eq\o(BC\s\up8(︵))∴∠CDB＝∠CAB＝40°.∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.四、有圆的切线时常常连接圆心和切点得切线垂直于半径已知圆的切线时常把切点与圆心连接起来得半径与切线垂直构造直角三角形再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图AB是⊙O的直径弦CD⊥AB于点H过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F切点为G连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.证明：连接OG.∵FE切⊙O于点G∴∠OGE＝90°.∴∠OGA＋∠AGE＝90°.∵CD⊥AB∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切证明一条直线是圆的切线当直线与圆有公共点时只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时常运用“d＝r”进行判断辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线证明垂线段的长等于半径．5．如图点ABC分别是⊙O上的点∠B＝60°AC＝3CD是⊙O的直径P是CD延长线上的一点且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．证明：连接OA.∵∠B＝60°∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.又∵OA为⊙O的半径∴AP是⊙O的切线．6．如图△ABC为等腰三角形AB＝ACO是底边BC的中点⊙O与腰AB相切于点D求证：AC与⊙O相切．证明：连接OD过点O作OE⊥AC于点E则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点∴OB＝OC.∵AB＝AC∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．六、内切圆连接内角平分线把梦圆利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图在△ABC中E是内心AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心∴∠ABE＝∠CBE∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD∠DBE＝∠CBE＋∠DBC而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD∴∠DEB＝∠DBE.∴DE＝DB.七、构造扇形与三角形化不规则图形的面积为规则图形的面积通过等积替换化不规则图形为规则图形在等积转化中(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图A是半径为2的⊙O外一点OA＝4AB是⊙O的切线B为切点弦BC∥OA