高等数学 极限与中值定理 应用.docx

高等数学极限与中值定理应用

第一篇：高等数学极限与中值定理应用(一)1.xsinlimxlimxsin2xx122xx1(洛必达法则)1x2=lim2x22xx122.xxlimxlimsinxcosx113.x0sinxlimcosxx0limtanxsinxx3sinx3limxsinx(1cosx)x0xcosx3x3lim23x0x124.limxsinx3x0lim16x1cosx3x2x0（二）1.若limsinxeaxx0(cosxb)5，求常数a，blim(cosxb)xeasinx(cosxb)limxx0eax0sinx由等价无穷小可得a=1=lim(cosxb)xsinxexx05b42.若x0,(x)kx,(x)21xarcsinxcosx是等价无穷小，求常数Klim1xarcsinxkx2cosxx01lim1xarcsinxcosxkx(1xarcsinx1xarcsinxcosx2kx2x02cosx)limx0x2arcsinxlimx0sinx1x4kx1x)cosx'lim31x2(x01x4k24k3k413.证明当X>02时，(x1)lnx(x1)222f(x)(x1)lnx(x1)则f(x)2xlnxx2xlnxx'''1x2(x1)1x21x2f(x)2(lnx1)12lnxln1x21x211x210'再倒推可得：f(x)022f(x)0f(x0)，所以(x1)lnx(x1)（三）1.设f(x)在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，且f(a)0，证明：(0,a)，使得f()f()0。'求原函数F(x)xf(x)F(0)F(a)0满足罗尔定律，所以F(x)0'即f()f()0'2.设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）上可导。且f(0)0,f(1)1，证明（1）c(0,1).推出f(c)1c（2），(0,1)有f()f()=1（）''（1）F(x)f(c)c1F(0)1,F(1)1由零点定理得c(0,1)有F(c)=0所以c(0,1).推出f(c)1c（2）设(o,c),(c,1)得f()f()''f(c)f(0)c0f(1)f(c)1c1ccc1c''所以，(0,1)有f()f()=1（）第二篇：高等数学中值定理总结咪咪原创，转载请注明，谢谢！中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。1、所证式仅与ξ相关①观察法与凑方法例1设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)f(1)f(0)02f()试证至少存在一点(a,b)使得f()1分析：把要证的式子中的换成x，整理得f(x)xf(x)2f(x)0(1)由这个式可知要构造的函数中必含有f(x)，从xf(x)找突破口因为[xf(x)]xf(x)f(x)，那么把(1)式变一下：f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]0这时要构造的函数就看出来了F(x)(1x)f(x)f(x)②原函数法例2设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，又g(x)在[a,b]上连续求证：(a,b)使得f()g()f()分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法现在把与f有关的放一边，与g有关的放另一边，同样把换成x两边积分f(x)g(x)dxg(x)lnf(x)g(x)dxlnCf(x)Cef(x)f(x)eg(x)dxC现在设C0，于是要构造的函数就很明显了F(x)f(x)eg(x)dx③一阶线性齐次方程解法的变形法对于所证式为fpf0型，（其中p为常数或x的函数）可引进函数u(x)e，则可构造新函数F(x)fepdxpdx例：设f(x)在[a,b]有连续的导数，又存在c(a,b)，使得f(c)0f()f(a)baf()f(a)分析：把所证式整理一下可得：f()0ba1[f()f(a)][f()f(a)]0，这样就变成了fpf0型ba求证：存在(a,b)，使得f(