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空间几何证明

第一篇：空间几何证明立体几何中平行、垂直关系证明的思路平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面性质判定线⊥线线⊥面面⊥面线∥线线⊥面面∥面线面平行的判定：a∥b，b面，aa∥面ab线面平行的性质：∥面，面，ba∥b三垂线定理（及逆定理）：PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AOPOa线面垂直：a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥aOαbc面面垂直：a⊥面，a面⊥面⊥面，l，a，a⊥la⊥αalβa⊥面，b⊥面a∥b面⊥a，面⊥a∥ab定理：1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；b.经过两相交直线，有且只有一个平面；c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。作用：a.判定两个不重合平面是否相交；b.判断点在直线上。4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6.（直线与平面平行的判定定理）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。条件：a.一条直线在平面外；b.一条直线在平面内；c..这两条直线互相平行。7.（平面与平面平行的判定定理）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。条件：a.两条相交直线；b.相交直线在一个平面内；c.对应平行。8.（直线与平面平行的性质定理）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。条件：a.一条直线与一个平面平行；b.过这条直线的任一个平面与此平面相交；c.交线与直线平行。9.（平面与平面平行的性质定理）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3b.平面1与3相交，平面2与3相交c.交线平行点、线、面的相关证明一.多点共线和多线共点问题证明方法：公理3的熟练应用；两个相交平面有且只有一条公共直线。1.如下图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，G，H。求证：E，F，G，H四点必定共线。2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B，Q，D1三点共线。3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：a.E，C，D1，F四点共面；b.CE，D1F，DA三线共点。二．计算异面直线所成角度方法：平移法和辅助线（中位线）构造角度1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角度为______________.2.如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面面积为3，体积为√2/2，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为____________.3.如图所示，正三棱锥S-ABC（侧面为全等的等腰三角形，底面为正三角形）的侧棱长与底面边长相等，E、F分别是SC、AB的中点，异面直线EF与SA所成的角为____________.4.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数_______________.第二篇：空间几何——平行与垂直证明三、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1)利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行2)利用三角形中位线性质3)利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。4)利用直线与平面平行的性质定理：a∥ca∥bb∥c如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。a∥aβaa∥bαbb5)利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．//aa//bb6)利用直线与平面垂直的性质定理：垂直