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正弦定理余弦定理[推荐]

第一篇：正弦定理余弦定理[推荐]正弦定理余弦定理一、知识概述主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB,c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．二、重点知识讲解1、三角形中的边角关系在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；（2）边与角之间的关系：正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC射影定理：a＝bcosC＋ccosBb＝ccosA＋acosCc＝acosB＋bcosA2、正弦定理的另三种表示形式：3、余弦定理的另一种表示形式：4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法在△ABC中，易证明再在上式各边同时除以在此方法推导过程中，要注意对面积公式的应用．例1、在△ABC中，ab=60,sinB=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角．分析：在正弦定理中，由进而可以利用三角函数之间的关系进行解题．解：可以把面积进行转化，由公式∴C=30°或150°又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°显然A＋B=90°不可能成立当C=30°时，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°当C=150°时，由A－B=90°得B为负值，不合题意故所求解为A=120°，B=30°，C=30°.例2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值．分析：把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA．解：∵B=A＋60°∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°=又∵b=2a∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA例3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状．分析：三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a＋b＝c，a＋b>c（锐角三角形），a＋b＜c（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．．∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．例4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．分析：本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边．解：解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c故△ABC为等腰三角形或直角三角形．6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．例5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形的边长．分析：本题运用方程的思想，列方程求未知数．解：设边长为x(1设x=t，则1－5)=16t三、难点剖析1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．如果sinB>1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；如果求出sinB2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2