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正弦定理与余弦定理

知识定位
解三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。其中解三角形里面的正弦定理与余弦定理和证明及其基本应用；向量方法证明余弦定理的证明性质以及应用，必须熟练掌握。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中正弦定理与余弦定理相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理
三角形常用公式：
A＋B＋C＝π；S＝absinC＝bcsinA＝＝casinB；
2、三角形中的边角不等关系:A>Ba>b,a+b>c,a-b<c；；
3、正弦定理：
＝＝＝2R（外接圆直径）；
正弦定理的变式：；
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．
4、正弦定理应用范围：
①已知两角和任一边，求其他两边及一角．
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．
③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角

一解两解一解
(2)A为锐角或钝角
当时有一解.
5、余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA．c2=a2+b2-2abcosC．b2=a2+c2-2accosB．
若用三边表示角，余弦定理可以写为
、
6、余弦定理应用范围：
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．
7、三角形面积公式：

8、余弦定理的向量证明：
，
，
.
证明：（证法一）
如图，

即
同理可证，

（证法二）
已知中，所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，
，
即
同理可证，

例题精讲

【题目】在中，分别是角的对边，设．求值．
【答案】
【解析】解：由正弦定理及角变换求解．由，
得．再由三角形内角和定理及得
，
所以，
，
又，代入到中得
，由得，
从而，
所以．
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3

【题目】已知的三个内角满足：，，求的值．
【答案】
【解析】解：由题设知，，
设，则，
可得代入条件中得

展开得，
化简得，
即，
从而求出即
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂练习
【难度系数】4

【题目】在中，已知，边上的中线，求值．
【答案】
【解析】解：以为原点，为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点在第一象限．
由，得．
设，则，
由求出（另一负值舍去）．于是由数量积得
，
所以．

【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3

【题目】内接于单位圆，三个内角的平分线延长后分别交此圆于点，求的值．
【答案】2
【解析】解：如图连接，则，
故，
同理，，
代入原式得
．
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】4

【题目】在中，记，若，
求的值．
【答案】5/9
【解析】解：由已知得，又由余弦定理，得
，
所以，
所以
，
故
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4

【题目】设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是．求证：（１）；
（２）；
（３）．

【答案】如下解析
【解析】证明：（1）由定比分点的向量形式得
，
由共线得，
即，又，
所以
即，由正弦定理可得
．

（2）由，得，
由定比分点公式的向量形式有．
又．
下面求，，，
所以．
由得
．
所以代入即得证．
（3）由（2）知，
所以，
由是三角形的重心有得代入并利用：整理即得
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】4

【题目】在非直角中，边长满足．
（1）证明：；
（2）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由
【答案】如下解析
【解析】证明：（1）由得，和差化积得

因为，
所以有，
展开整理得，
故．
（2）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求与
之间的关系．
由及半角公式得，
对其展开整理得

即，
即，
即
与原三角式作比较可知存在且
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4

【题目】在非钝角中，，分别是的外心和内心，且，求
【答案】或
【解析】解：由已知条件及欧拉公式得，其中分别为外接圆和内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得

结合正弦定理消去边和得
，
又，
代入并分解因式得
即或，
即或，
经验证这两个值都满足条件．
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】4

习题演练

【