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构造法证明不等式（合集五篇）

第一篇：构造法证明不等式构造法证明不等式由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用.一、构造一次函数法证明不等式有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.例1设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.证明：视a为自变量，构造一次函数=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，由0≤a≤2，知表示一条线段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0，=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0，可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.二、构造二次函数法证明不等式对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.例2实数a、b、c满足(a+c)(a+b+c)4a(a+b+c).证明：由已知得a=0时，b≠c，否则与(a+c)(a+b+c)4a(a+b+c)成立.当a≠0时，构造二次函数=ax+(b-c)x+(a+b+c)，则有=a+b+c，=2(a+c)，而·=2(a+c)(a+b+c)第二篇：巧用构造法证明不等式巧用构造法证明不等式构造法是指在解决数学问题的过程中，为了完成由条件向结论的转化，通过构造辅助元素，架起一座沟通条件和结论的桥梁，从而使问题得到解决。不等式证明是高中数学的一个难点问题，若能巧用构造方法，可以使一些问题化难为易.本文拟用构造法巧证一些不等式问题，仅供参考.一、构造函数证明不等式若能根据题中条件的特征，巧妙地构造函数，利用函数的图象和性质来证明不等式.例1（2011年安徽高考理科题）（Ⅰ）设x1,y1，证明111xyxy，xyxy（Ⅱ）1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.解：∵x1，y1，所以要证明原不等式成立，则只需证xy(xy)1yx(xy)2成立.令f(x)yx(xy)2[xy(xy)1](y2y)x2(1y2)xy1当y1时，则f(x)0，即xy(xy)1yx(xy)2，所以111xyxyxyxy111(,1).函数当y1时，二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴x22y2f(x)在[1,)上单调递增，所以f(x)f(1)y2y1y2y10所以111xyxyxyxy综上，所证明的原不等式成立.（Ⅱ）证明略.二、构造方程证明不等式由解不等式的经验知，不等式的解的区间的端点就是相应方程的解，所以可以利用方程与不等式的内在联系，构造方程来证明不等式.例2设实数a,b,c满足a2bc8a7022bcbc6a60求证：1a9.bca28a7证明：由已知得，故可构造关于x的方程：bc(a1)x2(a1)xa28a70所以[(a1)]24(a28a7)0，即a210a90，所以1a9.三、构造三角形证明不等式若能根据不等式的特征，构造出与不等式相同的几何背景的三角形，通过三角形的性质和几何特征来证明不等式.例3设a,b,c为正实数，求证：a2abb2b2bcc2c2caa2(abc)证明：由于a2abb2下图所示.Aa2b22abcos1200，构造三角形ABC，如DB使ACb,BCa,ACB1200，则ABa2abb2.作ACB的角平分线交AB于D.令ADC，则ADbBDaa，.sin600sinsin600sin(1800)sin33ba(ab)所以AB，BD.由此可得ABADDB.sinsinsin∵01，所以AB，所以0sin3(ab)，即2a2abb2同理：b2bcc2(ab)①.23(cb)②2(ca)③2c2caa2由①②③得a2abb2b2bcc2c2caa2(abc).四、构造几何体证明不等式若要证明的不等式与几何体中一些线段的长度有某种内在的关系，可通过构造几何体来证明不等式.例4已知a,b,c均为正数，且a2b2c21.证明：a2b2c23(abc)证明：由a2b2c21，可发现此式与长方体的对角线长的公式有一定联系.故可构造长方体，使其长宽高分别为a,b,c，且AC11.Ac1A1D1而AB1b2c2