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数学余弦定理

第一篇：数学余弦定理一、正弦定理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abc。sinAsinBsinC2.正弦定理的变形RnisAb，2nRisBc2nisR，C变形（1）：a2；abc变形（2）：；nisA，Bnis，C2R2R2RbnisAnicsAcsinBasinBasinCbsinC变形（3）：a，b，c；nisBnisCsinCsinAsinAsinBbc∶niAsnisnB∶isC∶变形（4）：a∶；变形（5）：nisabcabc2R。AnisBnisCnisAnisBnisC3.正弦定理的应用（1）已知两角和任一边，求其他两边和另一角；（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边及其他两角。二、余弦定理1.余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosA①b2c2a22cacosB②c2a2b22abcosC③2.余弦定理的变形（1）定理的特例：是指当某一内角取特殊值时的特殊形式。主要有：①c2a2b2C90（勾股定理及其逆定理）；②c2a2b2abC60；③c2a2b2abC120；④c2a2b2C30；⑤c2a2b2C150；⑥c2a2b2C45；⑦c2a2b2C135。b2c2a2a2c2b2（2）定理的推论：cosA，cosB，2bc2aca2b2c2cosC。2ab3.余弦定理的应用：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边及其夹角，求第三边和其他两角。知识点一：正弦定理例1：在△ABC中，（1）已知A45，a2，bB；（2）已知A30，ab2，求B；1（3）已知A30，a，bB。2思路分析：这三个小题看似相同，其实大相径庭，虽然都是已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，但结果却是一个一解，一个两解，第（3）小题无解，下面我们来逐个分析。bsinA1ab。解答过程：（1）根据正弦定理，得sinBa2sinAsinB∵ab，AB，而A45，B30。bsinAab（2）根据正弦定理，得sinB。asinAsinB∵ab，AB，而A30，B为锐角或钝角，B45或B135。bsinAab（3）根据正弦定理，得sinBasinAsinB解题后的思考：已知两边及其中一边的对角解三角形用正弦定理，其结果可能有一解、两解或无解。例2：在△ABC中，已知b14,A30,B120，求a，c及△ABC的面积S。思路分析：已知两角实际上第三个角也是已知的，故用正弦定理可以很方便的求出其他边的值。解答过程：依正弦定理：abbsinA＝，∴a，代入已知条件，得sinAsinBsinBa14sin303sin1203∵C180(AB)180(30120)30，又bc＝，sinBsinCcbsinC14sin30C＝A，△ABC为等腰三角形，所以acsinBsin120311∴SABCabsinC。14sin302233解题后的思考：三角形的面积公式111（1）S△ABCahabhbchc（ha，hb，hc分别表示a，b，c上的高）。222111（2）S△ABCabsinCbcsinAacsinB。222（3）S△ABC2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（4）S11ahaabsinCrp22p(pa)(pb)(pc)。其中r为三角形的内切圆半径，p为三角形周长的一半。cosA＝a·cosB成立，试判断这个三角形的形状。例3：在△ABC中，若b·思路分析：条件中既有边又有角，统一条件是首要任务。cosA＝2RsinA·cosB，sinB·cosA＝解答过程：由正弦定理，得：2RsinB·sinA·cosB，∴sinAsinB，即tanAtanB，根据三角形内角和定理，可知A、BcosAcosB必都为锐角。所以A＝B，即△ABC是等腰三角形。解题后的思考：由已知条件确定三角形的形状，主要通过两个途径：①化角为边，通过代数式变形求出边与边之间的关系。②化边为角，利用三角恒等变形找出角与角之间的关系。一般情况下，利用三角恒等变形计算量会小一些。a2b2sin(AB)例4：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，证明：。2csinC思路分析：条件中既有边又有角，条件需统一，另外△ABC中，内角和为180。abc2R得：sinAsinBsinCa2Rsin