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探索数列不等式的证明

第一篇：探索数列不等式的证明探索数列中不等式的证明教学目标：双基：加深学生对放缩法、二项式定理法、数学归纳法等方法的理解，并能运用这些方法证明数列不等式。能力：在问题的解决过程中，培养学生自主探索，归纳猜想等直观思维，训练学生对知识的灵活变通与迁移能力。教学重点：能合理、准确的运用这些方法证明数列不等式。教学难点：学生在数学学习过程中，知识的迁移、组合、融合能力的培养。教学手段：多媒体辅助教学。教学过程设计：一、引入：数列，不等式是高中数学两大基础知识，近几年高考多以数列不等式的综合性问题为热点。此类问题难度大，综合性强，学生难以解答完全，下面我们结合几种典型方法，几道典型例题一起来探讨。二、方法探讨1、放缩法分析：形如：（1）11111112（2）nn1n(n1)nn(n1)n1n例1函数f(x)(xR)对任意x1x21都有fx1fx2（1）1数列an满足：anf0fn求an的通项式。122f…nn1ff1，n（2）设SnTn1)，试证明SnTn。解：011n1…1nn1，2f0f11fnn11f，„n2数列求和中倒序相加法，1anf0fn2f…nn1ff1①n1ff0②nn1anf1fn①+②，得n2f…n12an(n1)2n1an（nN*）4（2）证明：Sn113)4SnTn41)Tn本例放缩法的最终目的是为了求和，从而达到不等式的证明。还有一种情况是对数列求和之后再进行放缩。如练习。练习：求证：1111*2nN，（）22223n2．数学归纳法分析：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，证明分为两步：（1）证明n取初始值n0时命题成立；（2）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明nk1时，命题也成立。由（1）（2）知nn0,nN*命题成立。例2：数列an、试比较Sn与2n的大小，an前n项和为Sn，an2n1，bn2n，bn，并证明之。解：Sn(2n11)nn2，bn2n2计算：当n1时,有S1b1；当n2时,有S2b2；当n3时,有S3b3；当n4时,有S4b4；当n5时,有S5b5；由于“指数爆炸”，猜想Snbn(n5,nN*)。证明：（1）当n5时,有5225成立（2）假设nk时命题成立,即2kk2当nk1时,2k1(k1)22.2kk22k12k2k22k1k22k1(k1)22(51)22140即nk1时，命题也成立因（1），（2）知，n5时2nn2，（nN*）通过此例可看到观察、归纳、猜想、证明的思想方法。其基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后用数学归纳法给出证明。3、二项式定理法0123n1n分析：2n(11)nCnCnCnCnCnCn=1nn(n1)n(n1)n122例3：数列an、bn，an2n1，bn2n，an前n项和为Sn，试证明：当n5时,Sn20123n1n又(11)nCnCnCnCnCnCnn(n1)n(n1)n122n2nn2nn2n222nn21n1练习：证明：2(1)n(n2)n4、单调性法分析：数列本身是一种特殊的函数，其自变量是正整数集，因此可根据其单调性进行证明。f(x)(xR)具有单调性f(n)(nN*)具有单调性，反之不成立。11125(nN*)n1n23n1241111,nN*证明：f(n)n1n2n33n1111111f(n1)f(n)n2n33n13n23n33n41111)(n1n2n33n11111=3n23n33n4n+1例4：求证：f(n)为增函数f(n)minf(1)23(n1)(n302n)(34)11113251112131224原不等式成立。三．课堂小结：1、数列不等式证明几种常见方法，放缩法，二项式定理法，单调性法，数学归纳法。2、应注意问题（1）数学相关知识的灵活运用（2）熟练的数学运算能力四．思