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数列不等式的证明四川省邻水县三古乡初级中学——曹小霞摘要:数列是数学中的重要内容之一，它从等差、等比数列入手涉及到通项与求和，以及数列的性质（有界性、单调性、周期性、整除性），还常常与函数叠代，集合分拆，初等数论等其它知识交织成综合题.而把数列知识与不等式的知识整合起来，形成的数列不等式的相关问题，既是高考的重点，又是竞赛数学研究的焦点.数列不等式的证明要调动证明不等式的各种方法，同时结合数列的相关知识，题型错综复杂值得深入研究.本文主要通过对例题的分析，探索解决数列不等式的一般规律，目的是使复杂的问题明朗化.本文主要运用数学归纳法，三个重要不等式以及数列的性质，探索归纳有关证明数列不等式的一般规律.关键词:数列不等式1．引言数列是数学中的重要内容之一，它从等差、等比数列入手涉及到通项与求和，以及数列的性质（有界性、单调性、周期性、整除性），还常常与函数叠代，集合分拆，初等数论等其它知识交织成综合题.而把数列知识与不等式的知识整合起来，形成的数列不等式的相关问题，既是高考的重点，又是竞赛数学研究的焦点.数列不等式的证明要调动证明不等式的各种方法，同时结合数列的相关知识，题型错综复杂值得深入研究.本文主要通过对例题的分析，探索解决数列不等式的一般规律，目的是使复杂的问题明朗化.2．数列性质的应用例1[11]．设满足=1\*GB3①的实数序列，而是由下式定义的实数列，=2\*GB3②证明：=1\*GB2⑴对任意成立.=2\*GB2⑵对于中任意，存在具有性质=1\*GB3①的序列，使得由它构成的序列=2\*GB3②中有无穷多个下标n满足.分析与证明由题设易知求前n项和，显然，但无法保证，因此可将其作为恒等变形：=为证问题（2），关键是选取以便计算，可将特殊化，取为常数，此时为等比数列.因而，取，则此时只要就有无穷多个下标，使因此当时，取就有，故证得满足题设条件的序列存在.例2．数列的前n项和为，,,,.求的通项公式，并证明解：当n=1时，当时，（n）故例3.设为常数，数列的通项公式为（n）若对任意不等式恒成立，求的取值范围.解：因为等价于=1\*GB3①=1\*GB2⑴当时=1\*GB3①式即为此式对…恒成立=2\*GB2⑵当,…时=1\*GB3①式即为即此式对…恒成立，综上=1\*GB3①式对任意成立，有0，故的取值范围为例4[5].求证：（其中）.证明：构造数列模型，则有==所以数列为递增数列.又因为，故（其中），即原不等式得证.例5[11].如果（）,证明：对于一切，都有证明：因为，所以，.又因为=由于==故由以上例题我们可以看到，数列不等式的证明中，在涉及数列与常数比较大小的问题上，我们常借助于数列的有界性去解决；在涉及到数列前后两项大小已知的问题上，常常采用数列的单调性去解决.在解决不等式问题时，亦可构造数列把不等式问题转化为数列问题，然后借助数列的性质去解决，从而使证明过程更简捷、明了.3．三个重要不等式的应用3.1排序不等式设，，则有3.2平均不等式对于任意个正数，，令这样的分别叫做这个正数的算术平均值,几何平均值，调和平均值，次幂平均值，其中均为大于的自然数.四种平均值之间，具有如下关系：.当且仅当时等号成立.3.3柯西不等式设和为任意实数则当且仅当时等号成立.例1[9].设，且对任意正整数都有，证明：证明：因则又因为于是所以=例2[11]．设是正实数数列，对所有的满足条件证明对所有的，证：先证一个更一般的命题，设都是正数，且=1\*GB3①若对所有的=2\*GB3②则有事实上，设，由=1\*GB3①和=2\*GB3②可得改变求和次序得由此可得两边同时平方再利用柯西不等式，可得令，则例3[2].设是个互不相等的自然数，证明：证法一：设是的一个排列，且，又由反序和乱序和得：当时，等式成立.又证法二：是个互不相等的自然数，由即：又即例4[2].设,都是正数，且证明:证明：由柯西不等式有又=故命题得证.综上述可以看到，三个不等式在涉及数列不等式中的运用非常灵活，同时也具有较强的技巧性，在运用过程中常涉及复杂的变形以及巧妙的构造数列.运用三个不等式解数列不等式的关键就是构造出相关模型，使复杂问题简单化、模式化,从而达到解题的目的.4.数学归纳法的应用例1[9].数列的各项均为正数，且，证明：对一切且，都有.证明：（1）当时，=，结论成立.（2）假设当时结论成立，因=在上是增函数，故在上也是增函数，因此在的条件下，有===即当时结论成立.由（1）（2）知，对一切且，结论成立.例2[9].数列中，（）求证：分析：易知，在假设条件下去推时，=1\*GB3①要继续放大=1\*GB3①的右边，就必