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导数在不等式中的应用范文合集

第一篇：导数在不等式中的应用指导教师：杨晓静摘要：本文探讨了利用拉格朗日中值定理，函数的单调性，极值，幂级数展开式，凹凸性等进行不等式证明的具体方法，给出了各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路。关键字：导数的应用不等式证明方法引言不等式的证明在初等数学里已介绍过若干种方法，比如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等。然而，有些不等式用初等数学的方法是很难证明的，但是应用导数证明却相对较容易些，在处理与不等式有关的综合性问题时，也常常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态。因此，很多时候可以以导数为工具得出函数的性质，从而解决不等式问题，现具体讨论导数在解决不等式有关的问题时的作用。一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的意义在于建立了导数与函数之间的关系，证明不等式则是它的一个简单应用。拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足如下条件：（1）f在闭区间a,b上连续；（2）在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点，使得f()'f(b)f(a)ba应用拉格朗日中值定理证明的不等式的类型有f(b)f(a)M(ba)或证明步骤：（1）恰当的选取函数f(x)并使函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，并考虑f(x)的导数形式和M或m形式上的联系。（2）通过求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)f(a)f()(ba)，(a,b)'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)M，xa,b，则由上述等式得到不等式f(b)f(a)M(ba)，或由的不确定性，计算出若f'(x)的取值范围m,M,xa,b,则进而有不等式m(ba)例：证明nbn1f(b)f(a)M(ba)(ab)abnnnnan1(ab)证明：构造函数f(x)x，则显然f在区间b,a上满足拉格朗日中值定理，且f(x)nxnn'n1，n1有abn(ab)，又第二篇：导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用引言不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。其常用的证明方法有:比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。一、利用导数的定义证明不等式定义设函数ffx在点x0的某领域内有定义,若极限fxfx0存在limxx0xx0则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'x0令xx0x，yfx0xfx0，则上式可改写为fx0xfx0ylimf'x0x0xx0xlim所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比y的极限。这个增量比称为函x数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数f'x0则为f在x0处关于x的变化率。以下是导数的定义的两种等价形式：1（1）f'x0limxx0fxfx0xx0fxxfx0x（2）f'x0limx0例1:设fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，并且fxsinx，证明：r12r2nrn1证明fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，可得出f00，因为f'xr1cosx2r2cos2xnrncosnx,则f'0r12r2nrn又由导数的定义可知limx0fxf0fxfxlimlimx0x0x0xxsinx1xf'0limx0所以f'01，即可得r12r2nrn1.1221ylny，求证:y1,y2y2lny.232211分析令hyy2y2lny，y(1,)，因为h10,326例2、已知函数fy要证当x1时，hx