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函数极限

第一篇：函数极限数学之美2006年7月第1期函数极限的综合分析与理解经济学院财政学任银涛0511666数学不仅仅是工具，更是一种能力。一些数学的方法被其它学科广泛地运用。例如，经济学中的边际分析、弹性分析等方法。函数极限是高等数学中的一个重要问题。极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，欢迎批评指正。一、函数极限的定义和基本性质函数极限可以分成x→x0，x→∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以xx0的极限为例，fx在点x0以A极限的定义是：0,0,使当0xx0时，有f(x)A(A为常数).问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若lim存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明xx0''即如果fxnA，fxn，fx在x0处的极限不存在。B（n,xn和xnx0）则fx在x0处的极限不存在。运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式fxPxPx,Qx均为多项式，Qx0）。设Px的次数为n,Qx的Qx次数为m，当x时，若nm，则fx0;若nm，则fxPx与Qx的最高次项系数之比；若nm，则fx。当xx0时,f(x)P(x0)(Q(x0)0)。Q(x0)二、运用函数极限的判别定理最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数gx与hx，并且要满足gxfxhx，从而证明或求得函数fx的极限值。三、应用等价无穷小代换求极限掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了，让求解过程变得简明迅速。x0时，sinx与x，tanx与x，arcsinx与x，arctanx与x，1cosx与x2，xa，ax1与xlna，1a与ax（a0）等等可ln1x与x，loga1x与lna以相互替换。特别需要注意的是，等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积sinxx因子，而对于加减法运算则不能运用。例如lim，不能直接把sinx替换x0x3sinxx1成x，得出极限值为0，实际上lim。x0x36四、运用洛必达法则求函数极限设函数fx，gx在点a的某空心邻域可导，且g'(x)0。当xa时，fxf'x，fx和gx的极限同时为0或时才适用'A（A为常数或）gxgx洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数0、00、1、0等类型则需要问题。这使得求解思路简单程序化。而对于、0对式子进行转化，或通分或取倒数或取对数等转化为型，再使用洛必达法0则求极限。例如fxgx的极限转化为求egxlnfx的极限等等。然而，对于数列，则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为n的函数时，它的定义域是一系列孤立的点，不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。参见附例3。五、泰勒公式的运用对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式，可以考虑使用泰勒公式。这样将函数式化为最高次项为相同或相近的式子，这时就变成了求多项式的极限值（接着求值见上文所述方法），使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初等函数的麦克劳林展开式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln1x等等。至于展开式展开多少，则要与题干中的自变量x最高次项保持一致。如cosxelimx0x4x4)。x2利用泰勒公式展开cosx,ex22，展开到x4即可(原式x最高次项为六、利用微分中值定理来求极限f(x)在a,b上连续，在a,b上可导，则至少存在一点a,b，使f'()f(b)f(a)'f(b)f(a),f()即可看成特殊的极限，用来求解。一般需ba