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《数学分析2》期末考试总结

第一篇：《数学分析2》期末考试总结2012-2013学年第1学期《数学分析2》期末考试总结本校于2013年01月22日对12级数学与应用数学（2）（3）班的学生进行了数学分析2的期末考试。本次考试采取自命题的方式，多数试题难度适中，少量题目难度颇高，题量适中，具有相当的全面灵活性，符合大纲要求。本试卷各部分内容所占比例为：基础知识占80%，综合分析题目占20%。题型分别为：选择题、叙述定义定理、计算题、证明题等。本次阅卷采取独立阅卷方式进行，按照参考答案与评分标准给分，证明题则考虑到不同的有效证明思路，做到对每个学生负责。本次考试的成绩分布情况如下：优秀：90~100分3人，占5.17%；良好：80~89分7人，占12.07%；中等：70~79分14人，占24.14%；及格：60~69分22人，占37.93%；不及格：60分以下12人，占20.69%。从本试卷的各类题型的得分情况来看，综合基础性的选择题和叙述定义定理不太理想，反映了中学阶段的应试教育的训练造成了现阶段的难点，也反映了个别同学对学习不够努力，但对数学专业的学生而言，主动进行学习和全面进行思考，这是基本要求和基本训练。在今后的教学过程中要继续强调这方面的要求。其它方面的得分比较正常。总之，本试卷全面地反映了学生的学习情况、学习能动性及其真实水平。任课教师：周颂平2013-3-1第二篇：数学分析公式定理2第十二章富里埃级数§1富里埃级数一富里埃（Fourier）级数的引进定义：设是上以为周期的函数，且在上绝对可积，称形如的函数项级数为的Fourier级数(的Fourier展开式)，其中，称为的Fourier系数，记为说明1）在未讨论收敛性，证明一致收敛到之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的Fourier级数，或者说的Fourier级数是。2)要求上的Fourier级数，只须求出Fourier系数。二富里埃级数收敛性的判别1.Riemann（黎曼）引理设在（有界或无界）区间上绝对可积，则，.推论在上绝对可积函数的Fourier系数；2.Fourier级数收敛的充要条件定理1和,使得当时成立其中.3.Fourier级数收敛的Dini判别法推论:设在上除去有限点外存在有界导数,则的Fourier级数点点收敛,且特别地,是的连续点时，即例:设是以为周期的函数，其在上可表示为,判定的Fourier级数的收敛性.例：设是以为周期的函数,其在上等于,判定的Fourier级数的收敛性例：4.Jordan判别法设在上单调(或有界变差)，则。例：设是以为周期的函数，其在上可表示为,求的Fourier展开式。计算的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如，例：设是以为周期的函数,其在上等于,求的Fourier级数.如果仅定义在长为的区间上,例如定义在上,此时不是周期函数,从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对在外补充定义,使其以为周期,如定义,它有下述性质:a)时,；b)以为周期.例:三正弦级数和余弦级数定义形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数（函数项级数）称为余弦级数.2如果是以为周期的函数,在上绝对可积,若是奇函数,则有；若是偶函数,则有.3设仅在上有定义,如果按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数,所得Fourier级数必为正弦级数.对应地,补充定义后,再作周期延拓,必得偶函数,所得Fourier级数必为余弦级数。例:),将展开成余弦函数。例：将在上展开为余弦级数。四一般周期函数的Fourier级数设是周期为的函数,且在上绝对可积,则有,其中，例:求的Fourier展开式.五Fourier级数的复数表示形式设,则其复数表示形式为,其中,复的Fourier系数.§2富里埃变换一富里埃变换的概念设在内绝对可积。定义1称是的富里埃变换，并把它记为或。即。富里埃变换的性质（i）是内的连续函数；（ii）。定义2称是的富里埃逆变换。又称是的富里埃变换积分公式。例：求衰减函数的富里埃变换。例：求函数的富里埃变换和富里埃变换积分公式。二富里埃变换的一些性质富里埃变换有一些简单的性质，这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。性质1（线性），其中是两个任意给定的常数。性质2（平移）对任何，设，那么。性质3（导数）设，则。性质4。第十三章多元函数的极限和连续性§1、平面点集一邻域、点列的极限定义1在平面上固定一点，凡是与的距离小于的那些点组成的平面点集，叫做的邻域，记为。定义2设。如果对的任何一个邻域，总存在正整数，当时，有。就称点列收敛，并且收敛于，记为或。性质：（1）。（2）若收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。二开集、闭集、区域设是一个平面点集。1