高数知识点总结(上册).docx

高数知识点总结（上册）函数：绝对值得性质：(1)|a+b||a|+|b|(2)|a-b||a|-|b|(3)|ab|=|a||b|(4)||=函数的表示方法：（1）表格法（2）图示法（3）公式法（解析法）函数的几种性质：（1）函数的有界性（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性反函数：定理：如果函数在区间[ab]上是单调的则它的反函数存在且是单值、单调的。基本初等函数：（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数（4）三角函数（5）反三角函数复合函数的应用极限与连续性：数列的极限：定义：设是一个数列a是一个定数。如果对于任意给定的正数（不管它多么小）总存在正整数N使得对于n>N的一切不等式都成立则称数a是数列的极限或称数列收敛于a记做或（）收敛数列的有界性：定理：如果数列收敛则数列一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛函数的极限：定义及几何定义函数极限的性质：（1）同号性定理：如果而且A>0(或A<0)则必存在的某一邻域当x在该邻域内（点可除外）有（或）。（2）如果且在的某一邻域内（）恒有（或）则（）。（3）如果存在则极限值是唯一的（4）如果存在则在在点的某一邻域内（）是有界的。无穷小与无穷大：注意：无穷小不是一个很小的数而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小的唯一的常数因为如果则对任给的总有即常数零满足无穷小的定义。除此之外任何无论多么小的数都不满足无穷小的定义都不是无穷小。无穷小与无穷大之间的关系：（1）如果函数为无穷大则为无穷小（2）如果函数为无穷小且则为无穷大具有极限的函数与无穷小的关系：（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和（2）如果函数可表为常数与无穷小的和则该常数就是函数的极限关于无穷小的几个性质：定理：（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小（2）有界函数与无穷小a的乘积是无穷小推论：（1）常数与无穷小的乘积是无穷小（2）有限个无穷小的乘积是无穷小极限的四则运算法则：定理：两个函数、的代数和的极限等于它们的极限的代数和两个函数、乘积的极限等于它们的极限的乘积极限存在准则与两个重要极限：准则一（夹挤定理）设函数、、在的某个邻域内（点可除外）满足条件：（1）（2）则准则二单调有界数列必有极限定理：如果单调数列有界则它的极限必存在重要极限：（1）（2）（3）或无穷小阶的定义：设为同一过程的两个无穷小。（1）如果则称是比高阶的无穷小记做（2）如果则称是比低阶的无穷小（3）如果则称与是同阶无穷小（4）如果则称与是等阶无穷小记做几种等价无穷小：对数函数中常用的等价无穷小：时三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：时指数函数中常用的等价无穷小：时二项式中常用的等价无穷小：时函数在某一点处连续的条件：由连续定义可知函数在点处连续必须同时满足下列三个条件：（1）在点处有定义（2）当时的极限存在（3）极限值等于函数在点处的函数值极限与连续的关系：如果函数在点处连续由连续定义可知当时的极限一定存在反之则不一定成立函数的间断点：分类：第一类间断点(左右极限都存在)第二类间断点(有一个极限不存在)连续函数的和、差、积、商的连续性：定理：如果函数、在点处连续则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点也连续反函数的连续性：定理：如果函数在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数则它的反函数也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数最大值与最小值定理：定理：设函数在闭区间上连续则函数在闭区间上必有最大值和最小值推论：如果函数在闭区间上连续则在上有界介值定理：定理：设函数在闭区间上连续两端点处的函数值分别为而是介于A与B之间的任一值则在开区间内至少有一点使得推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值推论（2）：设函数在闭区间上连续且(两端点的函数值异号)则在的内部至少存在一点使导数与微分导数：定义：导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率函数可导性与连续性之间的表示：如果函数在x处可导则在点x处连续也即函数在点x处连续一个数在某一点连续它却不一定在该点可导据导数的定义求导：（1）（2）（3）基本初等函数的导数公式：（1）常数导数为零（2）幂函数的导数公式（3）三角函数的导数公式（4）对数函数的导数公式：（5）指数函数的导数公式：（6）（7）反三角函数的导数公式：函数和、差、积、商的求导法则：法则一（具体内容见书106）函数乘积的求导法则：法则二（具体内容见书108）函数商的求导法则：法则三（具体内容见书109）复合函数的求导法则：（定理见书113页）反函数的求导法则：反函数的导数等于直接函数导数的倒数基本初等函数的导数公式：（见书121页）高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数求n阶导数：（