学案9导数及其应用培训讲学.ppt

1.了解导数的实际背景,理解导数的几何意义,熟记导
数基本公式,掌握导数基本运算.
2.能利用导数确定函数单调性,求单调区间,求函数的
极值和最值.
3.能利用导数解决实际问题.
4.了解定积分基本定理的含义,会求简单的定积分.
1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()
A.(-∞,2)B.(0,3)
C.(1,4)D.(2,+∞)
解析f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′
=(x-2)ex,令f′(x)＞0,解得x＞2.2.设a＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是（）

解析y′=(x-a)(3x-2b-a),由y′=0,
得x=a或∴当x=a时，y取极大值0，
当时,y取极小值且极小值为负.
或当x＜b时,y＜0,当x＞b时，y＞0.4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)
＞0,对于任意实数x,都有f(x)≥0,则的最小值
为()
A.3B.C.2D.
解析因为f′(x)=2ax+b,
依题意,有可得c＞0,

题型一曲线的切线与函数的单调区间问题
【例1】(2009·全国Ⅰ)已知函数f(x)=x4-3x2+6.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l
通过坐标原点，求l的方程.解(1)f′(x)=4x3-6x=4x(x+)(x-)
当x∈(-∞,)和x∈(0,)时,f′(x)＜0;
当x∈(,0)和x∈(,+∞)时,f′(x)＞0.
因此,f(x)在区间(-∞,)和(0,)上是减函数,
f(x)在区间(,0)和(,+∞)上是增函数.
(2)设点P的坐标为(x0,f(x0)),由l过原点知，
l的方程为y=f′(x0)x，
因此f(x0)=x0f′(x0)，

因此切线l的方程为【探究拓展】一般地,涉及到函数的单调区间及求曲
线在某点处的切线问题,往往借助于导数这一重要工
具求解,通过判断导函数的符号,确定函数的单调区
间,通过求出函数在某点处的导函数值,确定曲线在
此点处切线的斜率，进而求出切线方程.
变式训练1(2009·安徽)已知函数f(x)=x-+a(2-
lnx),a＞0,讨论f(x)的单调性.
解f(x)的定义域是(0,+∞),

设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.
①当Δ=a2-8＜0,即0＜a＜时，
对一切x＞0都有f′(x)＞0,此时f(x)在(0,+∞)上是
增函数.
②当Δ=a2-8=0,即a=时，
仅对x=有f′(x)=0，
对其余的x＞0都有f′(x)＞0，
此时f(x)在(0,+∞)上也是增函数.③当Δ=a2-8＞0,即a＞时，
方程g(x)=0有两个不同的实根

此时f(x）在(0,)上单调递增，
在()上单调递减，
在(,+∞)上单调递增.题型二函数的极值与最值问题
【例2】(2009·山东)已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其
中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值？
(2)已知a＞0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a
表示出b的取值范围.
解(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1,
令f′(x)=0,得ax2+2bx+1=0,
f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解，
所以Δ=4b2-4a＞0,即b2＞a,
此时方程ax2+2bx+1=0的根为

所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2).
当a＞0时,f(x),f′(x)随x的变化情况如下表：

所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当a＜0时，f(x),f′(x)随x的变化情况如下表：

所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.
综上，当a,b满足b2>a时，f(x)取得极值.(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增，
需使f′(x)=ax2+2bx+1≥0在(0,1]上恒成立.

【探究拓展】求解函数的极值与最值问题常常利用求
导的方法来解决,解决这类问题的一般方法是:(1)分
析得出函数的定义域；(2)判断函数是否可导，如可
导，则利用导函数求最值的方法进行求解,否则利用
函数性质求解；(3)如果一个函数在开区间内只有一
个极值点，那么它也是相应的最值点.变式训练2设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根分别为

(1)证明:f(x)在区间上是增函数；
(2)当a为何值时,f(x)在区间上的最大值与最
小值之差最小.
(1)证明
由方程2x2-ax-2=0的两根分别为知x∈
时,2x2-ax-2＜0,所以此时f′(x)＞0,
所以f(x)在区间上是增函数.(2)解由(1)知在上,f(x)是增函数.
则f(x)在区间的最小值为最大值为