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关于“四色问题”的证明焦永溢“四色问题”是世界数学史上一个非常著名的证明难题它要求证明在平面地图上只要用四种颜色就能使任何复杂形状的各块相邻区域之间颜色不会重复也就是说相互之间都有交界的区域最多只能有四块。一百五十多年来有许多数学家用了很长时间化了很多精力才能证明这个问题。前些日子报刊上曾有报道说：有好几位大学生用好几台电子计算机联合起来化了十几个小时才证明了这个问题。本人在二十多年前就知道有这么一个“四色问题”可一直找不到证明它的方法。现在我刚接触到“拓扑学”其实用“拓扑学”原理一分析“四色问题”就象当年欧拉把“七桥问题”看成是经过四个点不重复的七条线段的“一笔画”一样简单连一般的小学生都能证明它。根据“拓扑学”原理任何复杂形状的每一块区域都可看成是一个点两块区域之间相互有交界的可看成这两点之间有连线只要证明在一个平面内相互之间都有连线的点不会超过四个也就证明了“四色问题”。平面内的任意一个点A可与许许多多的点B、C、D……X、Y、Z有连线（如图1所示）同样B点也可与其它点有连线C、D……X、Y、Z各点也可与其它点有连线。但有一个原则：各连线之间不能相互交叉因为一旦交叉就会产生一条连线隔断另一条连线（如图2所示）BC的连线就隔断了AD的连线。但有人会说：两点间的连线可有许多条AD连线可绕到B点或C点以外（图2中虚线所示）不就没有交叉了吗？可是这样一绕就产生一个结果：原来在一个封闭图形外的点变成了封闭图形内的点。下面就通过对封闭图形的分析来证明相互之间都有连线的点不超过四个。一个点本身或两个点之间的连线都可形成一个或多个封闭图形（如图3所示）。三个相互之间都有连线的点从A点连到B点再到C点又回到A点（如图4所示）必定会造成图形的封闭。封闭图形上的点若多于四点（如图5所示）从第三点C起各点与第一点A的连线又将整个封闭图形分割成许多小的封闭图形。因此得出结论①：同一平面上任何三个相互之间都有连线的点它们之间的连线必定会形成至少一个封闭图形。我们况且叫作三点连线封闭定律。平面上任何第四点可以是在上述三点连线构成的封闭图形内也可以在封闭图形外（如图6中D点和D′点）D点可分别与A、B、C点有连线D′点也可分别与A、B、C点有连线。D点与A、B、C点的连线把封闭图形ABC分割成三个小的封闭图形D′点与A、B、C点的三条连线中一定有一条被夹在另两条中间图6中D′A线被D′B线与D′C线夹在中间A点被封闭图形BCD′所包围与D点在封闭图形ABC中情况相同。因此得出结论②：同一平面上任何四个相互之间都有连线的点中必定有一个点被另三个点连线所形成的封闭图形所包围。我们况且叫作四点连线包围定律。那么平面上有没有第五点能分别与上述四点都有连线呢？首先这第五点E若要与第四点D有连线就必须也在封闭图形ABC里面其次这第五点不能落在各条连线上否则会隔断这条连线。第五点只能落在E1、E2、E3位置（如图7所示）而这三个位置上的点分别只能与包围它的小封闭图形上的三个点有连线而不能与第四点有连线若要有连线必定会隔断其它连线。因此得出结论③：同一平面上任何相互之间都有连线的点最多只能有四个若第五点要与这四点有连线必定会使其中两点的连线中断。我们况且叫作五点连线必断定律。这就是要求证明的“四色问题”。宋以后京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末学堂兴起各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间特别是汉代以后对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合比如书院、皇室也称教师为“院长、西席、讲席”等。“师”之概念大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”其只是“老”和“师”的复合构词所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称虽能从其身上学以“道”但其不一定是知识的传播者。今天看来“教师”的必要条件不光是拥有知识更重于传播知识。以上是在同一平面上证明了“四色问题”。如果各区域图是分布在立体形的表面（比如地球仪）我们根据拓扑学基本原理可以把这个立体形看成扁平形的把图6中的D点看成在平面前把D'点看成在平面后