第三章-向量与线性方程组补充习题答案.doc

第三章向量与线性方程组补充习题答案1．设有三维列向量问取何值时（1）可由线性表示且表达式惟一；（2）可由线性表示且表达式不惟一；（3）不能由线性表示．【解】设得线性方程组其系数行列式．若则方程组有惟一解可由惟一地线性表示．若则方程组有无穷多个解可由线性表示但表达式不惟一．若则方程组的增广矩阵可见方程组得系数矩阵A与增广矩阵不等秩故方程组无解从而不能由线性表示．2．设向量组试问：当abc满足什么条件时（1）可由线性表出且表示唯一？（2）不能由线性表出？（3）可由线性表出但表示唯一？并求出一般表达式。【解】设有一组数使得即该方程组的系数行列式（1）当时行列式0方程组有唯一解可由线性表出且表示唯一；（2）当a=－4时对增广矩阵作行初等变换有若3b-c1则秩r(A)秩r()方程组无解不能由线性表出；（3）当a=-4且3b-c=1时秩r(A)=秩r()=2<3方程组有无穷多组解可由线性表出但表示唯一。解方程组得（C为任意常数）。因此有3．设（1）问当t为何值时向量组线性无关？（2）问当t为何值时向量组线性相关？（3）当线性相关时将表示为和的线性组合.【解】因为故当时向量组线性无关；当t=5时向量组线性相关。当t=5时令得方程组解得故4．设向量是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系向量不是方程组Ax=0的解即．试证明：向量组线性无关．【解】设有一组数使得①上式两边同时左乘矩阵A有．因为故=0②从而由①式得=0由于向量组是基础解系所以．因而由②式得k=0．因此向量组线性无关．5．设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是(A)．(B)．(C)．(D)．【】【解】可见（A）、（B）中向量线性相关（C）、（D）不能直接观察得出对于（C）令即由于线性无关故因上述齐次线性方程组的系数行列式故方程组有惟一零解即故（C）中向量组线性无关应选（C）．6．设均为维列向量为矩阵下列选项正确的是若线性相关则线性相关.若线性相关则线性无关.(C)若线性无关则线性相关.(D)若线性无关则线性无关.【】【解】记则.所以若向量组线性相关则从而向量组也线性相关故应选(Ａ).7.设4维向量组问为何值时线性相关?当线性相关时求其一个极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【解】记以为列向量的矩阵为则.于是当时线性相关.当时显然是一个极大线性无关组且；当时由于此时有三阶非零行列式所以为极大线性无关组且.8．设齐次线性方程组只有零解则应满足的条件是.【解】当方程的个数与未知量的个数相同时Ax=0只有零解的充分必要条件是而所以应有9．k为何值时线性方程组有惟一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下求出其全部解．【解】用初等行变换化增广矩阵为阶梯形．当和4时有．这时方程组有惟一解：．当k=–1时方程组无解．当k=4时有故方程组有无穷多组解这时同解方程组为：令得方程组的全部解：其中c为任意常数．10．设线性方程组的系数矩阵为A三阶矩阵且．试求的值．【解】令则由题设即．又所以3不全为零说明齐次线性方程组Ax=0有非零解所以必有秩(A)<3从而=0即解得．11.设是矩阵是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组则下列结论正确的是(A)若仅有零解则有唯一解．(B)若有非零解则有无穷多个解．(C)若有无穷多个解则仅有零解．(D)若有无穷多个解则有非零解．【】【解】由解的判定定理知对若有秩则一定有解．进一步若r=n则有唯一解；若r<n则有无穷多解．而对一定有解且设秩(A)=r则若r=n仅有零解；若r<n有非零解．因此若有无穷多解则必有秩<n从而秩(A)=r<n有非零解所以(D)成立．但反过来若秩(A)=r=n(或<n)并不能推导出秩(A)=秩所以可能无解更谈不上有唯一解或无穷多解．12．非齐次线性方程组中未知量个数为n方程个数为m系数矩阵A的秩为r则(A)r=m时方程组有解．(B