一道中考题的11种解法探究.docx

一道中考题的11种解法探究题目原型：如图正方形ABCD中AB=4点E在BC上BE=1∠EAF=45°.直线AF交CD于点G、交BC的延长线于点F求EF的长。法一、思路点拨：看到角含半角模型首选思路--半角旋转如下图：通过证明两次全等可得：BE+DG=EG.设DG=m则：CG=4-mEG=m+1又EC=3根据勾股（m+1）2-（4-m）2=32解得：m=2.4法二、思路点拨：结合45°和已知三边的直角三角形可联想辅助线：构造等腰直角三角形如下图：过F做FH⊥AE交AE延长线于H易得△AFH为等腰直角三角形△ABE∽△FHE△ABE三边比为1:4：设EH=m则：FH=4mEF=m又由m+=4m解得：m=EF=.法三、思路点拨：由45°联想构造“K字型”全等！如下图过E作EM⊥EA交AF于M过M作MN⊥EF于N易证：△ABE≌△ENMMN=1EN=4又△FBA∽△FNM（A形相似）可求得m的值法四、思路点拨：看到与矩形、正方形相关的可想到建立直角坐标系利用求直线解析式和交点坐标可求解可简化图形如下图：问题可转化成：求直线AF解析式又∠EAF=45°直线AF可看成为由直线AE绕点A旋转45°所得。求已知直线绕其与坐标轴交点旋转45所得的直线解析式（两种通法）如下图：构造K字型（与法三同理）求出M（51）求得直线AF解析式算出点F坐标法五、思路点拨：如法四建系求直线AF解析式构造一线三等角！法六、思路点拨：连正方形对角线出现45°∠BAC=∠EAG=45°导角得∠1=∠2可想到构造相似如下图：过C作CM⊥AC交AF于M易证△ABE∽△ACMAC=CM=过M作MN⊥EF于N证△CMN为等腰直角三角形MN=CN=1又△FBA∽△FNM（A形相似）可求得FN的值法七、思路点拨：如下图：与法五类似导角得∠BAE=∠CAM构造与△ACF相似已知∠ACF=135°可构造一个135°角取BH=BE连HE易证△AHE∽△ACFAC=EH=AH=3可求CF=.法八、思路点拨：高中解法易证：α+β=45°根据正切和差公式：下面提供今天其他两位老师添加的三种解法：武汉黄老师：法9、思路点拨：构造母子相似如下图：延长CB到M使BM=BA连AM证△FAE∽△FMA（称之为母子形相似或共边共角相似）法10、思路点拨：构造直角三角形相似与解法6思路类似不过计算更简单。如下图：+a=4a解得：a=CF=a=法11、思路点拨：构造X形相似