正弦定理和余弦定理-知识点及典型例题.doc

2第页正弦定理和余弦定理要点梳理1．正弦定理其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC；(3)sinA＝eq\f(a2R)sinB＝eq\f(b2R)sinC＝eq\f(c2R)等形式以解决不同的三角形问题．2．三角形面积公式S△ABC＝eq\f(12)absinC＝eq\f(12)bcsinA＝eq\f(12)acsinB＝eq\f(abc4R)＝eq\f(12)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)并可由此计算R、r.3．余弦定理：.余弦定理可以变形为：cosA＝cosB＝cosC＝.4．在解三角形时正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测1．在△ABC中若b＝1c＝eq\r(3)C＝eq\f(2π3)则a＝.2．已知△ABC的内角ABC的对边分别为abc若c＝eq\r(2)b＝eq\r(6)B＝120°则a＝________.3．在△ABC中若AB＝eq\r(5)AC＝5且cosC＝eq\f(910)则BC＝________.4．已知圆的半径为4a、b、c为该圆的内接三角形的三边若abc＝16eq\r(2)则三角形的面积为()A．2eq\r(2)B．8eq\r(2)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2)2)题型分类深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形例1在△ABC中a＝eq\r(3)b＝eq\r(2)B＝45°.求角A、C和边c.变式训练1已知abc分别是△ABC的三个内角ABC所对的边若a＝1b＝eq\r(3)A＋C＝2B则A＝题型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC中a、b、c分别是角A、B、C的对边且eq\f(cosBcosC)＝.（1）求角B的大小；(2)若b＝eq\r(13)a＋c＝4求△ABC的面积．变式训练2已知A、B、C为△ABC的三个内角其所对的边分别为a、b、c且.(1)求角A的值；(2)若a＝2eq\r(3)b＋c＝4求△ABC的面积．题型三正、余弦定理的综合应用例3.在△ABC中a、b、c分别是角A、B、C的对边△ABC外接圆半径为（1）求角C的大小；（2）求△ABC面积的最大值.变式训练3在△ABC中内角ABC所对的边长分别是abc.(1)若c＝2C＝eq\f(π3)且△ABC的面积为eq\r(3)求ab的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A试判断△ABC的形状．例4设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且acosC＋eq\f(12)c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1求△ABC的周长l的取值范围．