二分图的完备匹配.pptx

二分图的完备匹配某公司有工作人员X1，X2，…，Xm，他们去做工作Y1，Y2，…，Yn，每人适合做其中的一项或几项工作，问能否每人都分配一项合适的工作。

这个问题的数学模型是：构造一个二分图G，顶点划分为两个部分：
一个是工作人员集合X＝{Xl，X2，…，Xm}，
一个是工作集合Y＝{Y1，Y2，…，Yn}，
当且仅当Xi适合干工作Yi时，Xi与Yi之间连一条边。问是否能从G中得出一个不含未盖点的匹配，这种将G的每一个顶点盖住的匹配称为二分图的完备匹配。可能存在完备匹配的图是否仅限于二分图呢？答案是否定的。数学家在做了大量的图论分析后得出：

(1)G是K(K＞0)次正则二分图；
(2)G是无桥的三次正则图；
(3)G在去除任意一个顶点子集S后，其子图中含顶点数为奇数的连通分支个数不大于|S|。
具有上述3个特征的图肯定有完备匹配。

特别是特征(3)，是完备匹配的充分必要条件：含特征(3)的图一定有完备匹配；有完备匹配的图也一定含有特征(3)。求二分图最佳匹配的算法——匈牙利算法
这个算法的要点是把初始匹配通过可增广轨逐次增广，以至得到最大匹配。然后根据有无未盖点来判定这个最大匹配是否为完备匹配。
例如求图7—8(d)中的最大匹配，
设初始匹配M＝{(X2Y2,X3Y3,X5Y5}
以未盖点X1为根，生成交错树，结果得到可增广轨X1Y2X2Y1(见)。X1X1