高中数学 正弦定理、余弦定理应用举例课件 新人教A版教材课件.ppt

正弦定理、余弦定理应用举例

要点梳理
1.解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外）
才能求解，常见类型及其解法如表所示.

2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面
积问题、航海问题、物理问题等.
3.实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标
视线的夹角,目标视线在水平视线叫仰角,
目标视线在水平视线叫俯角（如图①）.

(2)方位角
指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，
如B点的方位角为α（如图②）.
（3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.基础自测
1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B
点的仰角是60°,C点的俯角是70°，则∠BAC
等于（）
A.10°B.50°C.120°D.130°
解析由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°,
∴∠BAC=60°+70°=130°.2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔
A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏
东60°，则灯塔A在灯塔B的（）
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东10°D.南偏西10°
解析灯塔A、B的相对位置如图所示，
由已知得∠ACB=80°，
∠CAB=∠CBA=50°，
则α=60°-50°=10°.3.在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC
上的高为（）
A.B.C.D.
解析由余弦定理可得：
4.△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积
则a的值为（）
A.20B.25C.55D.49
解析由S=bcsinA=220,得c=55.
由余弦定理得
a2=162+552-2×16×55×cos60°=2401,
∴a=49.5.(2009·湖南文,14)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,
则的值等于,AC的取值范围为.
解析
题型一与距离有关的问题
要测量对岸A、B两点之间的距离，选取
相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,
∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求
A、B之间的距离.
分析题意，作出草图，综合运用正、
余弦定理求解.解如图所示在△ACD中，
∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，
∴AC=CD=km.
在△BCD中，∠BCD=45°，
∠BDC=75°，∠CBD=60°.

在△ABC中，由余弦定理，得求距离问题要注意：
（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所
求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若
有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求
解.
（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可
用，就选择更便于计算的定理.知能迁移1（2009·海南,宁夏理，
17）为了测量两山顶M、N间的
距离，飞机沿水平方向在A、B
两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面
内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和
A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指
出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标
出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离
的步骤.解方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N
点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示).
②第一步：计算AM.由正弦定理
第二步：计算AN.由正弦定理
第三步：计算MN.由余弦定理
方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的
俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2;
A、B的距离d（如图所示）.
②第一步：计算BM.由正弦定理
第二步：计算BN.由正弦定理
第三步：计算MN.由余弦定理题型二与高度有关的问题
某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向
前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得
塔顶的最大仰角为30°，求塔高.
依题意画图，某人在C
处,AB为塔高,他沿CD前进，CD=
40米，此时∠DBF=45°,从C到D
沿途测塔的仰角，只有B到测试点
的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB
=AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出
塔高AB,必须先求BE，而要求BE，需先求BD
（或BC）.解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD
前进，CD=40，此时∠DBF=45°，过点B作BE⊥
CD于E，则∠AEB=30°，在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,

∠BDE=180°-135°-30°=15°.
在Rt△BED中，
BE=DBsin15°
在Rt△ABE中，∠AEB=30°，
∴AB=BEtan30°=
故所求的塔高为解斜三角形应用题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，分清已知与所求；
（2）依题意画出示意图；
（3）分析与问题有关的三角形；
（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三