开放探索型问题.doc

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四十五章开放探索型问题

12.(2012山东日照，12，3分)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是（）
O
A1
B1
C1
D1
A
B
A2
B2
C2
D2
A.B.C.D.
解析：设正方形A1B1C1D1的边长为x，则AC1=C1D1=D1B=x,故3x=1，x=；同理，正方形A2B2C2D2的边长为，……，故可猜想第n个正方形AnBnCnDn的边长是.
解答：选B．
点评：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形A1B1C1D1的边长.

（2012河北省25,10分）25、（本小题满分10分）
如图14，A（-5,0），B(-3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°，点P从点Q（4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切时，求t的值。

【解析】在直角三角形BCO中，∠CBO=45°OB=3，可得OC=3，因此点C的坐标为（0,3）；（2）∠BCP=15°，只是提及到了角的大小，没有说明点P的位置，因此分两种情况考虑：点P在点B的左侧和右侧；（3）⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切，而四边形有四条边，肯定不能与AO相切，所以要分三种情况考虑。
【答案】解（1）∵∠BCO=∠CBO=45°∴OC=OB=3
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0,3）………………………………2分
（2）当点P在点B右侧时，如图2.
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故OP=OCtan30°=
此时………………………………4分
当点P在点B左侧时，如图3，由.∠BCP=15°得∠PCO=60°
故PO=OCtan60°=3，此时t=4+3
∴t的值为4+或4+3………………………………6分
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边都相切，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1……………7分
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4……………………………8分
③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO=90°，∴点A为切点，如图4，，
，于是，解得t=5.6
∴t的值为1或4或5.6……………………１0分
【点评】本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用，在今后的教学中多渗透考虑问题要全面（不重不漏），培养学生优秀的学习品质。有一定难度。

（2012河北省26,12分）26、（本小题满分12分）
如图15-1和图15-2，在△ABC中，AB=13，BC=14，。
探究如图15-1，AH⊥BC于点H，则AH=___________，AC=____________，△ABC的面积S△ABC=_____________。
拓展如图15-2，点D在AC上（可以与点A、C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，（当点D与点A重合时，我们认为S△ABC=0）
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围。
发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值。
【解析】探究根据三角函数和勾股定理可以很快求出AH和AC的值，进而求出三角形的面积。
拓展（1）利用所给数据，写出表示两个三角形面积的代数式；（2）利用（1）中的式子，用x表示m和n，再求（m+n）的值。点D在AC上，BD的长度可以认为是点D到AC的距离，所以当BD⊥AC时，x最小，是三角形AC边上的高，最大值是BC的长度，容易求出的最大值和最小值；（3）根据垂线段最短和轴对称可知，点D唯一时，只能是点D是垂足时和点D在点A关于垂足的对称点的下方时两种情况。
发现满足条件的直线就是AC所在直线，A、B、C三点到这条直线的距离之和的最小值就是（m+n）的最