江苏省南通海门市2014届高三第一次诊断考试数学试题.doc

2014届高三第一次诊断考试
数学I
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．设集合，则集合共有▲个子集．
2．已知角的终边过点，则的值是▲．
3．已知，则的值等于▲．
4．已知集合，，则＝▲.
5．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，
，则函数的零点个数为▲个.
6．给出如下命题：
①若“且”为假命题，则均为假命题；
②命题“若，则”的否命题为“若”；
③命题“”的否定是“”；
④“”是“恒成立”的充要条件.
其中所有正确的命题的序号是▲.
7．已知，则的值等于▲.
8．已知，，则“”是“在R上恒成立”的▲条件.
（填“充分不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”之一）
9．已知函数，，若图像上任意一点的切线的斜率恒成立，
则实数的取值范围是▲.
10．设函数在区间上单调递增，则的取值范围为▲.
11．已知函数，若，则的取值范围为▲.
12．已知函数若，则的最大值为▲.
13．已知，，，则▲.
14．已知,函数，则的值为▲.

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
已知，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．

16．（本小题满分14分）
设，函数的最大值为g(a)．
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求g(a)．

17．（本小题满分14分）
设函数和是定义在集合上的函数，若，则称函数
和在集合上具有性质.
（1）若函数和在集合上具有性质，求集合；
（2）若函数和在集合上具有性质，求的取值范围．

18．（本小题满分16分）
某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中
投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为个单位的药剂后，经过天该药剂在水中
释放的浓度（毫克/升）满足，其中，当药剂在
水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6
（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.
（1）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?
（2）如果投放的药剂质量为，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来
水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.

19．（本小题满分16分）
设，函数．
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）若函数在处取得极小值，求的值；
（3）若，试求时，函数的最大值．

20．（本小题满分16分）
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）求证：；
（3）对于定义域为D的函数，如果存在区间，使得时，
的值域是，则称是该函数的“保值区间”．
设，问函数是否存在“保值区间”？若存在，请
求出一个“保值区间”；若不存在，请说明理由．

2014届高三第一次诊断考试
数学II（附加题）
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）记函数，求函数的值域．

22．（本小题满分10分）
设为锐角，若，求的值．

23．（本小题满分10分）
已知函数，．
（1）求函数g(x)的解析式，并写出当a＝1时，不等式g(x)＜8的解集；
（2）若f(x)，g(x)同时满足下列两个条件：①，使；
②．求实数a的取值范围．

24．（本小题满分10分）
已知函数，，其中．
（1）求的极值；
（2）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．

海门市2014届高三第一次调研考试
数学I参考答案与评分标准
1.8；2.；3.；4.；5.2；6.②③；7.；8.充分不必要；9.；
10.；11.；12.；13.4；14.．
15.（1）证明：，
，
，
①………4分
，
若，则由①与矛盾，
，………5分
①两边同除以得：；………7分
（2）解：由（1）得，，………10分
，，
，，从而．………14分
16.解：（1）
，
，，即的取值范围为，………3分
（另解：，，由得，）
，，………5分
，；………7分
（2）由二次函数的图象与性质得：
①当，即时，；………10分
②当，即时，………13分
………14分
17.解：（1），，
由得：，………2分
变形得：，
或（啥去），………5分
，
；………7分
（2），，
由得：，………9分
变形得：，
，且，
，，即的取值范围为．………14分
（其它解法参照上述评分标