一类非线性椭圆型微分方程解的存在唯一性研究.pdf

∃∃
第卷第期应用数学学报!∀#%∀
∃
&∋∋(年)月∗+,∗−∗,./−∗,0+∗/∗1120+∗,∗/30%0+∗341,&∋∋(

一类非线性椭圆型微分方程

‘
解的存在唯一性研究

王丽平刘文忠

,
5南京航空航天大学理学院南京&∋67
<∃
589:;#=#>9:?≅。”山∀Α。7

摘要本文考虑一类非线性椭圆型偏徽分方程解的存在唯一性间题,通过研究相关线性边值间题的弱特
征值性态,根据全局反函数定理,我们得到这如卜线性椭圆型方程的可解条件,并给出解的存在唯一性证明,
∃
其主要结果推广了有关该间题的已有结论
关性词弱解Β弱特征值Β凡4ΧΔΕ触≅4亡定理Β+:Φ:?≅4∀Γ∀ΦΗ条件
−Ι5&∋∋∋7主肺分类ϑ&

·
中圈分类∋Κ(

引言

,
本文考虑2:Δ4ΦΛ#Μ中研究的非线性椭圆型边值间题如下所示<

2。5Ο7ΠΘ5Δ,。5Ο77Ρ≅5Ο7,Ο〔8,

,,57
Ν。5Ο7ΡΣ5Ο7劣〔:8

,,一,
其中2是强椭圆型自伴算子Θ5Ο?7是万Ο几上的%函数满足+:Φ:?≅∀Γ∀ΦΗ条
∃
件若存在整数%对所有5Ο,?7任万ΟΙ满足

,,
:二、擎5Ο‘7、。,Π
Τ肠

其中:#丛:<丛⋯兰。%三Υ%Π#丛⋯是下述问题的弱特征值

,
2ς5Ο7Π人。5Ο7Ρ∋Ο〔8
&
,57
Ν。5Ο7Ρ∋Ο〔:8
其且有中
。、」Ε
Π∋,
,
Ω∋“、吕,:占一Π∀

···,
Χ‘5卜57
占57一一
三。Ψ豁Μ
Ξ卜ΨΞΝ豁Ξ

∃∃一
本文&∋(年月日收到&∋(年Κ月&∋日收到修改稿
,<
期王丽平刘文忠一类非线性椭圆型微分方程解的存在唯一性研究

∃
则对任意口8上的连续函数抓Ο7,边值间题5#7存在连续延拓解
∃
本文采用的方法与分析技巧与ΛΔΜ类似借助线性边值间题弱特征值性态的已有结
果,我们分析非线性边值间题5#7对应的齐次方程解的情况Β基于全局反函数定理,我
,,,
们导出非线性齐次方程解的存在唯一性定理进而得到本文主要结果推广了Ψ&中
的相关结论∃

&预备知识

,
设8ΖΙ”是有界区域,本文总记2为二阶自伴的强椭圆型微分算子其主部为<

、
六么::
‘一去含““5Ο7蔽而

,
系数函数:斌劝Ρ勺‘5Ο7,‘,夕Ρ,&,⋯,。,是定义在8上的实可测有界函数且满足<

。。二Ζ,
艺艺57‘。<艺玲[劣任857
葱Ρ#ΩΡ公Ρ

∃
其中若Β,6,⋯,氛Ξ,任Ι”,。∴∋是为常数
记.∋Ρ护5万7,其内积5∃,∃7。定义为

·
,,,
5了。7。一儿‘,““,〔.∋

,
设抓Ο7定义在区域8上的实可测函数,并存在正常数∋]占Β三占&使得

·
∋]占;三>5‘7三占&,[二〔85⊥7

··
,,∃,,,,
记5_。7∀,Ρ几>5Ο7_5Ο7。5<7Γ<由条件5⊥7易知57。,是定义在.∋上的内积并具

··∃
有与内积5,7。相同的拓扑结构
,
设叨是砂上连续可微且在区域8上具有紧支集并在:8上为零值的函数形成
的内积空间,其上的实内积定义为<

一,
‘一,儿卜二客5蛊75爵7Μ“‘一谓

··
⎯5,7是定义在创上的二次对称泛函,形式为<

一·,
·‘一,儿客睿、5会75舞7Γ一讲

、
由:衬5Ο7的有界性强椭圆性条件57,以及1∀_αΖ:Φ4不等式0Μ’可知存在正常数
βΒ,凡和凡使得对任意的。〔叨满足

,∃
β5。,。7。三⎯5。,。7,β&5。,。7三⎯5。。7三β5。,。757

·,∃
记.Θ是讲在内积5∃7<下的完备化的实.;#χ4Φ?空间从而3∀χ∀#4!空间.1可
·,
视为.∋的子空间,二次泛函⎯5,∃7可延拓至衅并定义一个内积并由57知该内积
(&(应用数学学报卷

··∃··
,,,
空间与57#具有相同的拓扑结构下面的两个定义将算子2与二次泛函⎯57联系
∃
起来
,
定义对任意给定的_Ζ.δ若,〔.护满足

,,,,
⎯5夕!7Ρ5夕_7。!夕。衅

则称为下述边值间题的一个弱解

7一了‘7,Ο〔8Β
二56
丁∃57
吵,Ο〔
2ς气Ο7ΡΤ:8

,
间题567两端分别与4任.Θ进行积分便导出上述定义由此可定义.Θ上的线性
,∃,
泛函2,5∋7Ρ54ΩΞ。由条件57易知2_是连续的故由爪4Χ<表示定理推出存在唯一
的。任衅满足
∃
⎯5∀,。7Ρ2_5:7Ρ5:,_7。,[δ〔.犷

,,,,
一般地对满足条件5⊥7的实函数抓Ο7线性泛函娜,5∋7Ρ5∋,Ω7。,在.Θ上连续,
从而存在唯一的耳了任衅使得

,,∃
⎯5口,,1_7Ρ21_5:7Ρ5:,_7。>,!∀。川5Κ7

,∃
事实上5Κ7确定了映射几<.∋川由57和爪4Χ