基于MATLAB的随机线性微分方程的求解.pdf

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V钟黑半。dt黑V。lVk=啬(AV¨+Vk_lA’)基于MATLAB的随机线性微分方程的求解云文4一_-k丕义假设随机线性连续状态方程模型为2连续状态方程的离散化离散化状态方程形式的解F=e^乱，G=』争e^‘At一。’Bd1d(kAt)=』：：t+t)Ate^‘‘。+1’A‘。’1-y。(t)d=』争em^y。[(k+1)△t—r]d阴山学刊E[1(t)]=o，EE-／(t)1T(t)]=V。8(t—r)，E[1。(t)]=0，E[^r。(t)_y。T(t)]=V。8(t—g-)，其中V。=BV。B’是一个协方差矩阵。x[(k+1)△t]=Fx(kAt)+Gd(kAt)+YdEhd(t)(kAt)]=o，E[讹(t)(kAt)柏T(t)(jar)]=V8H，的对角矩阵，这样就可以得出Cholesky分解V=向量，且e(kAt)=[ek，e⋯，⋯，ek+n．1]’，使得各分2011年3月第25卷第1期JOURNAL1i(t)=Ax(t)+B[d(t)+1(t)]，y(t)=Cx(t)式中A，B，C为兼容矩阵，d(t)为确定性输入向量，．y(t)为Gauss白噪声向量，满足定义一个变量1。(t)=B1(t)，则可以证明1。(t)亦为Gauss白噪声向量，且满足此时状态方程模型可改写为：i(t)=Ax(t)+Bd(t)+1。(t)，y(t)=Cx(t)假设，to=kAt，t=(k+1)△t其中△t为计算步长，并假设在一个计算步长之内确定性输入信号d(t)为一个常数，即，如△t≤t≤(k+t)At时有d(t)=d(kAt)，则连续状态方程的离散形式可写成：(kAt)，Y(kAt)=Cx(kAt)式中且可见矩阵F，G和确定性系统的离散化形式是一样的。但可以看出，若系统含有随机输入时，系统的离散化形式与传统形式是不同的。可以证明讹(t)也是Gauss白噪声向量，且满足V=』oAte知V。eAttdt。3利用Taylor幂级数展式得t其中R。(0)与V。可以由下式递推求出trRk(O)=ARk—l(0)+Rk—l(0)A1。递推初值为So(0)=R(O)=V。，Vo=V。At。由奇异值分解理论，可以将矩阵V写成V=UFU7，其中u为正交矩阵，r为含有非零对角元素DD’。且1d(kAt)=De(kAt)，式中e(kAt)为rl×1YINSHANACADEMIC(包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头014030)摘要：给出连续线性系统离散化形式的解的算法及MATLAB实现，举例进行仿真，并得出随机输入系统的响应曲线。关键词：随机线性连续状态方程；离散476；MATLAB；4孥真中图分类号：0175文献标识码：A文章编号：1004—1869(2011)01-0011一03收稿日期：2010一ll—17作者简介：云文在(1964一)，男，内蒙古呼和浩特人，副教授，研究方向：应用教学。Mar．201lV01．25No．1r，r
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b【3，2—s4+10s3+35—s2+50s+24，率密度为P(Y)=去e一一2v2，这样得出的直方图上连续线性系统离散化的MA皿．AB实现仿真G=鹊(G)；G=baJl脚(G)；Gd=e2d(G，T)；A【Y(kAt)=Cx(kAt)function[F，G，D．C]=∞2d(G，sig，T)[U，S，VO]=svd(Vd)；V0=sqa(diag(S))；该函数的调用格式为[F，G，D，C]=sc2d(G，量e(kAt)，然后求出状态变量x[(k+1)△t]，并求出输出变量Y[(k+1)△t]，同时分析其统计规律。如果用白噪声信号激励该系统，试对其进行仿真分>>G=tf([1，7，24，24]，[1，lO，35，50，24])；[F，co，D，C]=se2d(G，l，0．02)IlMATLAB语句对之进行仿真，其中仿真点数设为T=0．02；t=0：T：(n一1)·T；plot(t，y)，V=还可以叠印上系统的理论概率密度，可以和有仿真量ek—N(O，1)。由以上可将系统的离散形式的递推解写成：『x[(k+1)At]=Fx(kAt)+Gd(kAt)+De(kAt)4根据以上算法，可以编写出随机输入下连续线性系统离散化的MATLAB函数sc2d()如下：While(noem(V1)<eps)V1=T／(i+1)辜(A·VO+V0·A’)；Vd=VdVd=diag(vo)；D=U·Vd；仃，At)，其中G为系统模型，仃为输入信号协方差矩阵，At为采样周期，(F，G，D，C)为离散化状态方程的相应矩阵。5在仿真时，可以产生一组伪随机数，从而产生向例：考虑受控对象的传递函数模型为析并得出输出信号的统计规律。解：假设系统的采样周期为T=0．02，语句·可以得出离散花的状态方程模型为G0=LJ由离散化的状