平面的基本性质课件 新人教A版必修2.ppt

2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面一、阅读教材P40～43，回答下列问题：
1．因为几何里的平面是无限延展的，所以需要时可以将平面任意 ，通常画 表示平面．
2．当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住部分的线段画成 ．
3．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的 点都在这个平面内．即这条直线在这个平面内．符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒.
如图：
4．公理2：经过 的三个点，有且只有一个平面．即 三点确定一个平面．
5．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过 的公共直线．
若平面α和β有且仅有一条公共直线l，就说平面α和β ，l叫做 ，记作 .
符号表示：α与β不重合，P∈α，P∈β⇒α与β有一条交线l，且P∈l.二、解答下列问题
1．点A在直线l上，又称直线l经过点A，记作 ；点A不在直线l上，又称 ，记作 .
2．点A在平面α内，又称 ，记作 ；点A不在平面α内，又称 ，记作 .
3．直线l在平面α内，又称平面α经过直线l，记作 ；直线l在平面α外，又称平面α不经过直线l，记作 .4．直线a与b相交于点A，记作 ；直线l与平面α相交于点A，记作 ；平面α与β相交于直线l，也称作直线l是平面α与β的交线，记作 .
5．点A是平面α与β的公共点，能记作α∩β＝A吗？
不能，因为两个平面如果有一个公共点，就必有一条经过这个公共点的公共直线，因此α∩β应表示这条公共直线，而不是一个点．

本节学习重点：三个公理．
本节学习难点：①公理的理解与应用．
②点、直线、平面位置关系的符号表示与画图．1．反映平面基本性质的三个公理是研究空间中点、直线、平面位置关系的最基本的依据，是构成立体几何知识体系的基础．
(1)公理1反映了直线与平面的位置关系，是判定点、直线是否在平面内的依据，可运用公理一证明点、直线在平面内．(判定点在平面内的步骤是：先判定直线在平面内，点在直线上，由此得出点在平面内)；公理一的另一个作用是用来检验平面．(2)公理2是确定平面的依据，“确定”的含义是“有且仅有”．即“存在一个平面”且“只有一个平面”．
(3)公理3是判定两平面相交的依据，也是证明点共线或线共点的依据．
应用公理3判定点共线(或点在直线上)的步骤：点是某两个平面的公共点，直线是这两个平面的交线，则点在直线上．
2．要逐步熟悉用集合语言来表达空间几何元素间位置关系，掌握文字语言、符号语言和图形语言的相互转化．[例1]若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q、b、β之间的关系可记作 ()
A．Q∈b，b∈β B．Q∈b，b⊂β
C．Q⊂b，b⊂β D．Q⊂b，b∈β
[解析]解法1：(直接法)
∵点Q在直线b上，∴Q∈b.
∵直线b在平面β内，∴b⊂β.
∴应选B.解法2：(排除法)
∵点Q与直线b之间的关系是元素与集合之间的关系，∴只能用符号“∈”或“∉”表示，
∴C、D应予排除．
∵直线b与平面β之间是集合与集合之间的关系，
∴只能用符号“⊂”或“⊄”表示，∴A应予以排除．
∴应选B.
[点评]直线、平面都看作点的集合，但是用符号表达直线与平面之间关系时，应该用⊂或⊄，不能用⊆、等．

将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并画图形表示．
α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.
[解析]文字语言叙述为：
点A在平面α与平面β的交线l上，AB、AC分别在α、β内．图形语言表示如右图．
[点评]文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，我们教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．
图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用，故应下功夫掌握三种语言的相互转化.

[例2]已知△ABC的边AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内．
[解析]∵AB在平面α内，
∴A点一定在平面α内．
∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．
∴点A、点C都在平面α内．
∴直线AC在平面α内(公理1)．

[点评]将上述证明过程用符号表示为：∵AB⊂α，∴A∈α，∵BC⊂α，∴C∈α，∴AC⊂α.
可见符号语言比文字语言简捷得多，因此应加强符号语言的应用，熟练地将三种语言相互转化．

三条直线a、b、c两两相交，有三个交点，已知a与b都在平面α内，求证c也在平面α内．
[分析]如图，设a∩b＝D，a∩c＝F，b∩c＝E，
由a⊂α可知，F∈α，
由b⊂α知，E∈α，由E∈c，F∈c知，c⊂α.[解析]已知a⊂α，b⊂α，
设a∩b＝D，a∩c＝F，b∩c＝E，如图．
求证：c⊂α.

证明：∵a∩c＝F，∴F