【点集拓扑学】§2.2 拓扑空间与连续映射.ppt

§2.2拓扑空间与连续映射
(此定义与度量空间的开集的性质一样吗)
例2.2.1平庸空间.
设X是一个集合.令={X，}.容易验证，是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间(X，)为一个平庸空间.在平庸空间(X，)中，有且仅有两个开集，即X本身和空集.
例2.2.4有限补空间.
设X是一个集合.首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起.因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为.令
={U
易验证是X的一个拓扑。
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射.下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质.
定义2.2.5设X和Y是两个拓扑空间.如果f：X→Y是一个一一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚.
定义2.2.6设X和Y是两个拓扑空间.如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y.
粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间.
定理2.2.3设X，Y和Z都是拓扑空间.则
(1)X与X同胚；
(2)如果X与Y同胚，则Y与X同胚；
(3)如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚.
拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质.换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质.
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质.