线性代数课件--5.3向量空间的基和维.ppt

1、基和维的概念定义设V为向量空间如果r个向量a1a2arV且满足
(1)a1a2ar线性无关
(2)V中任一向量都可由a1a2ar线性表示
那么向量组a1a2ar就称为向量空间V的一个基r称为向量空间V的维数并称V为r维向量空间定义如果在向量空间V中取定一个基a1a2ar那么V中任一向量x可唯一地表示为
x1a12a2rar
数组12r称为向量x在基a1a2ar中的坐标

在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1e2en为基则向量x(x1x2xn)T可表示为
xx1e1x2e2xnen
可见向量在基e1e2en中的坐标就是该向量的分量解解例在R3中取定一个基a1a2a3再取一个新基b1b2b3设A(a1a2a3)B(b1b2b3)求用a1a2a3表示b1b2b3的表示式(基变换公式)并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)解定理设b1、…、bs及f1、…、ft是向量空间的任两组基，则必有s=t.由于Rn有一组明显的自然基，例考虑练习2中给出的向量空间5.3.2再论线性代数方程组的解齐次方程组的通解式（或基础解系）不惟一确定，取等价方程组根据通解的表达，该齐次方程组的解集可记为则方程组的通解为5.3.2.2非齐次方程组说明向量组a1，a2，…，an线性无关，故必为R(A)的一组基，t1，t2，…，tn-r，其次，用向量空间的概念同样直观地解释Ax=b结论(2)、(3)则说明了当已知其某个解xp时，例对练习2中的V2=span(b1,b2,b3),可以例已知四元非齐次线性代数方程组的系数作业