量子统计南大说课讲解.ppt

第八章、玻色统计和费米统计我们引进巨配分函数：总能量：对于一个孤立的系统，粒子数目的变化为零，有：根据ln的定义，以及最可几分布给出的参数间的关系，
可以得到玻尔兹曼关系式：
，其中我们已经取积分常数为零。
对于一个开放的系统，粒子数目的变化不为零，有：对于遵从玻色、费米分布的系统，只要求出了系统的巨配分函数的对数ln，就可以求出系统的平均粒子数、内能、物态方程、熵等，从而确定系统的所有的平衡性质。ln是以，，y（对应简单系统，即：T，V，）为自然变量的特征函数。热力学中知道，这种系统的特征函数是巨热力势J＝U－TS－N。这样，我们得到巨热力势用ln表示的形式：。所以：知道粒子的能级和简并度，就可以求出所有的热力学函数，确定系统的平衡性质：(二)、弱简并的玻色和费米气体g为粒子的自旋自由度引入的简并度系统的内能U为：在e>>1的情况下，e--x是一个小量，因此可以将右式中括弧内的项展成级数。只取前两项，有：两式相除得到右式：(三)、玻色－爱因斯坦凝聚为了简单，假设粒子的自旋量子数为零，根据玻色分布，有：理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。
如果假设粒子的最低能级（基态）能量＝0，
则有：<0，可以求出：化学势为温度T和粒子数密度n的函数。在粒子数密度n不变的情况下，温度越低，化学势越高。当温度降低到临界温度Tc时，
临界温度Tc由下式计算：这说明，在利用积分式求化学势时，当温度低于Tc后，我们不可能获得负的化学势。这显然与理想玻色气体的化学势始终为负值相矛盾。在低温情况下，粒子将尽可能占据能量低的能级。由于玻色子在能级上的占据数目不受限制，因此在温度趋于绝对零度时，基态上的粒子数目将会很大。因而不能忽略。在T<Tc时，有：首先我们计算在T<Tc时激发态对粒子数密度的贡献n。这说明，在T<Tc时，玻色粒子将在基态（能级＝0）上凝聚。其粒子数密度n0与总的粒子数密度n具有相同的量级。这一现象称为玻色－爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein-Condensation)，温度Tc称为凝聚温度。凝聚在基态上的粒子的能量和动量均为零、系统的熵也为零：动量空间的凝聚。在T<Tc时，系统的内能为处在能级>0上的粒子的能量和。在T<Tc时理想玻色气体的定容热容量与T3/2成正比。当温度到达Tc时，热容量达到极大值。温度超高Tc后，热容量慢慢从极大值回落到经典极限值3/2Nk。可以证明，系统的热容量是连续变化的，但是，热容量对于温度的导数是不连续的。这说明：Bose-Einstein-Condensation是一个三级相变。(四)、光子气体光子是玻色子，平衡时服从玻色分布。由于空窖不断发射和吸收光子，光子气体中光子的数目时不守恒的。在导出玻色分布时，只能引入一个乘子。所以：＝0。即：平衡状态下光子气体的化学势为零。光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向上的投影有两个可能值。所以在体积为V的空窖内，在动量从p到p＋dp范围内，光子的量子态数目为：平均光子数目为：维恩位移定律：现在讨论在低频和高频极限时的结果。低频时：与1896年维恩获得的公式相同空窖辐射的内能为：另外，根据普朗克公式，内能密度随着频率的分布有一个极大值wm。可以从下式得到维恩位移定律（wm与温度成正比）。(五)、强简并理想费米气体－金属中的自由电子考虑到电子的自旋，在体积V内，能量从到＋d范围内的电子的量子态数目为：1、讨论温度T＝0K时的情况0K时的化学势（0）可以由下式得到：现在对0K时的化学势（0）作一个估计。以Cu为例，N/V=8.5X1023m-3，(0)=1.1X10-18J。定义费米温度：得到Cu的费米温度TF为7.8X104K。在一般温度下金属中自由电子气的化学势与0K时近似相等，所以化学势也被称为费米能级。由于>>kT，e<<1。所以，自由电子气是高度简并的。当T>0K时，有：从图中看出，温度T下，同0K时相比，只有在费米能级附近的分布发生了改变。所以：只有费米能级附近的电子对热容量有贡献。对自由电子气体的热容量进行定量计算。化学势由下式决定。令当T0K时，由于费米温度很高，在常温下电子对热容量的贡献可以忽略不计。但是当温度很低时，由于离子振动的贡献按照T－3衰减，电子热容量不能忽略不计。以Cu为例，D＝345K，TF＝7.8X104K。单位时间内，碰到单位面积的金属表面上，动量在dpxdpydpz范围内的电子数目为：在一般情况下，>>1：功函数W一般是电子伏特的量级，因此一般在高温下（103K）才会发生可观的热电子发射。功函数越大，发射需要的温度越高。同样的温度下，功函数小的发射电流大。