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怎样建立非质点问题的质点模型
赵永才
质点模型，是用一个具有同样质量，但没有大小和形状的点来代替实际物体，这是对实际物体的一种科学抽象。物体的形状和大小对所研究的问题不起作用或起次要作用是一个物体能否抽象为质点的依据。有些问题中的物体不满足此条件，如何将其抽象为质点，并按质点模型求解呢？
1.提取质点
若物体各部分的运动情况相同，则可在物体中取一质点，将物体的运动转化为该质点的运动。
例1.某人站在高楼顶拿住细杆的上端使之与楼顶同高，让杆自然悬垂，使杆从静止释放自由下落，某层楼内有一个人在室内用摄像机恰巧摄下了细杆通过窗口的过程，并从录像中发现细杆出现在窗口的时间t＝1s，若该窗口高度，窗口上沿到楼顶距离，试问杆的长度L为多少？
分析：作出细杆通过窗口的过程示意图如图1所示，杆从a处自由下落至b处时开始出现在窗口，至c处时完全通过窗口。由图知，杆通过窗口过程中，杆下落距离为。若把杆当作质点处理，则杆下落距离为窗高h，这显然是不正确的。因此在此题中不能忽略杆的长度，不能把杆抽象成质点处理。

图1
由于杆中各点的运动情况相同，可在杆中任取一点（常取杆的端点）来研究，从而将杆的运动简化为质点的运动。
设杆顶端为质点A，A从楼顶自由下落，从下落了H1开始，到下落了H2的过程，即为杆通过窗口的过程。

代入数据得L＝13m

2.置换质点
例2.如图2所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），绕它的轴在光滑的桌面上以角速度快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从桌子的边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，速度v至少应等于（设回转器的高为H，底面半径为R，不计空气对回转器的作用）（）

图2
A. B. C. D.
分析：若以回转器为研究对象，在其形状的影响下，问题将变得很复杂。
取回转器为参照物，以桌子边缘为研究对象，把问题转化为如图3所示的情景：质点A（桌子边缘）从回转器的顶点以向右的初速度v，向上的加速度g，做类平抛运动，要使A不落在回转器的边上，v至少应等于多少？

图3
由，解得

选D

例3.一列火车做匀变速直线运动驶来，一个人在轨道旁观察列车，发现相邻的两个10s内，列车从他跟前驶过8节和6节车厢，每节车厢长8m，且连接处长度不计，求火车的加速度和人开始计时时火车的速度大小。
分析：本题研究火车的运动规律，但火车在此情景中不能看作质点。
同前题，变换研究对象，以火车为参考系，研究人相对火车的运动，此时人可当作质点处理，则问题转化为如图4所示的情景：质点向左做匀变速直线运动，依次通过A、B、C三点，且

图4

则由
其中
解得
又由
得

3.虚构质点
例4.试管中装入血液，封住管口后，将此试管固定在转盘上，发现试管中有一小气泡，如图5所示，当转盘以一定角速度旋转时，气泡相对于试管将如何运动？

分析：设想血液充满整个试管，则转盘转动时，管内血液相对试管静止。取原气泡处的血液为研究对象，得。
将此处血液换作气泡后，周围血液及试管对该气泡的合外力不变，但气泡的质量小于血液的质量，所以有，则气泡将向转盘内侧运动。

4.等效质点
通过类比，得到等效质点，再研究等效模型。
例5.如图6所示，在秋收的打谷场上，脱粒后的谷粒用传送带送到平地上堆积起来形成圆锥体，随着堆积的谷粒越来越多，圆锥体体积越来越大，用力学知识可分析得出，圆锥体底角的变化情况应该是（）

A.保持不变 B.不断增大
C.不断减小 D.先增大后减小
分析：此题若能联想到如图7所示（物体静止于斜面上）的模型，则不难选出正确答案。

图7
当物体静止在粗糙斜面上时，对物体分析受力可得：

得
所以物体恰能静止在斜面上的临界条件为：，与物体的质量无关。
通过两模型的类比即知：随着谷粒的增多，临界角（即圆锥体的底角）不变，选A。