加权BMO函数空间上的Hardy-Littlewood极大算子.pdf

第16卷第4期数学研究与评论Vol.16No.4
1996年11月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONNov.1996

X
加权BMO函数空间上的Hardy-Littlewood极大算子

王月山
(河南焦作大学基础部,454151)

摘要本文给出了Hardy2Littlewood极大函数的加权BMO的有界性证明:即若f

∈BMOw,w∈A∞,且infMf(x)<∞,则M(f)(x)∈BMOw,且úM(f)úw3≤cúfúw3.
n
x∈R

关键词极大算子,加权BMO有界性,权函数.

分类号AMS(1991)47BöCCLO177.1

§1引言及主要结论

n
任给f∈Lloc(R),定义Hardy2Littlewood极大函数:
1
M(f)(x)=sup{f(y)dy:Q为含x的方体},
ûQû∫Q
[1]
Bennett,Devore与Sharply利用Calderon2Zygmund分解证明了当infM(f)(x)<∞时,则
x∈Rn

M(f)(x)∈BMO,且有:úM(f)ú3≤cúfú3.本文将给出M(f)(x)的加权BMO有界性的证
明.
在[2]中,B.Muckenhoupt和R.L.Wheeden引入了加权BMO函数空间的定义:
n
设f(x)和w(x)为R上局部可积函数且w(x)≥0,则称f为关于权w的BMO函数,如
果存在常数c使得:
1
ûf(x)-fQûdx≤cw(x)dx(这里fQ=f(x)dx)
∫Q∫QûQû∫Q
nn
对所有边平行于坐标轴的R中方体Q成立.记BMOw={f:f∈Lloc(R)且f满足上式}.满足

上面式子最小的常数c叫f的BMOw范数,记为úfúw3.[4]中证明了w∈A1时,Littwood2Pa2

ley算子的BMOw有界性.对于M(f)(x),有下面的结论:

定理若f∈BMOw,且infM(f)(x)<∞,w∈A∞,则M(f)(x)∈BMOw,且存在不依赖
x∈Rn

于f的常数c,使得úM(f)úw3≤cúfúw3.

§2引理及其证明

引理1设f∈BMOw,w∈A∞,定义

′1
úfúw3=supûf(y)-fBûdy,
Bw(B)∫B

X1994年3月28日收到.
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n′
其中B为R中的球,则úfúw3～úfúw3.
ûQûûBû
证明设B为在方体Q的外接球,则Q<B<2Q,由w∈A∞,<1,<1,所以存
ûBûû2Qû
′′
在小于1的数c1,c1,使得:w(Q)≤c1w(B),w(B)≤c1w(2Q)≤cw(Q),所以
1
úfúw3=supûf(y)-fQûdy
Qw(Q)∫Q
cûQû
≤sup[ûf(y)-fBûdy+ûfB-fQ)]
Bw(B)∫Bw(Q)

1′
≤csupûf(y)-fBûdy=cúfúw3
Bw(B)∫B
′′
同样,úfúw3≤cúfúw3,所以úfúw3～úfúw3.

引理2记f∈BMOw,w∈A∞,则对任一球体B,存在仅依赖于n的常数c,使得:
rf(y)-f21
ûBû2≤w(B)
(nn+1dy)cúfúw3,
∫R(r+ûy-y0û)ûBû
其中r为B的半径.
2
132w(B)
证明首先,有ûf(y)-fBûdy≤cúfúw32.事实上,利用[2]中定理4及反
ûBû∫BûBû
向Hoblder不等式[3],
44
-
2233
ûf(y)-fBûdy=ûf(y)-fBûwwdy
∫B∫B
2141
3-23144õ33
≤(ûf(y)-fBûwdy)(wdx)ûBû
∫BûBû∫B
241
23133
≤c[úfúw3w(B)](wdy)ûBû
ûBû∫B
w2(B)
=cúfúw3.
ûBû
n
jjw(Bk)2
其次,令j=2为半径为2的球,0=,则B-B≤w3,利用(ai)
BBrBBûfkfk-1ûcúfú∑
ûBkûi=1
n
2
≤(n+1)∑ai,
i=1
k
2≤22
ûf(y)-fBûdyc[ûf(y)-fBûdy+ûBkûûfBj-fBj-1û]
∫B∫Bk∑
kkj=1

2k2k2
2w(Bk)n(k-j)w(Bj)2n(k-j)w(Bj)
≤cúfúw3(+∑2)≤cúfúw3∑2.
ûBkûj=1ûBjûj=1ûBjû
类似于[4]中引理的证明:
2∞2
rûf(y)-fBû-n2rûf(y)-fBû
≤()B
nn+1dycrûfy-fûdy+∑n+1dy
∫R(0)∫B∫QøQ(0)
r+ûy-yûk=1kk-1r+ûy-yû
2∞
2w(B)-k(n+1)-n2
≤cú