公路卵形曲线中线及边线坐标的计算.pdf

第28卷第3期河北理工学院学报Vol128No13
2006年8月JournalofHebeiInstituteofTechnologyAug.2006

文章编号:1007-2829(2006)03-0126-04
公路卵形曲线中线及边线坐标的计算

王健

(河北理工大学交通与测绘学院,河北唐山063009)

关键词:卵型曲线;缓和曲线;坐标计算
摘要:推导了公路卵型曲线上任意一点的测量坐标和过该点的切线、法线的方位角的公
式,并在此基础上推导了路边线测量坐标的计算公式。最后利用工程实例阐明了计算的方
法。
中图分类号:U412124文献标识码:A
在公路、铁路及矿山建设中,经常需要测设各种复曲线。当相邻两圆曲线的曲率半径差超过一定值
时,这两个圆曲线必须通过缓和曲线连接。在复曲线的各种基本线型中,此类缓和曲线(也称卵型曲线
或不完全缓和曲线)最为复杂,并且在各种测量教材和资料中,对这类缓和曲线的介绍很少。另外,随
着全站仪和计算机在工程测量中的广泛应用,采用极坐标法直接在控制点上测设公路的中线和边线,既快
捷又减少了累积误差。针对以上问题,作者根据卵型曲线的特性,推导出了计算卵型曲线中线及边线坐标
的计算公式。

1不完全缓和曲线的特性

如图1所示,缓和曲线OAB为完全缓和曲线,曲率半径从O点的+∞到B点的R2,而不完全缓和曲

线AB是完全缓和曲线OAB的一部分,半径从A点的R1(R1>R2)到B点的R2。设曲线AB的长为l,此

l×R1×R2
时该缓和曲线的曲线半径变化率为:C=。
R1-R2

收稿日期:2005210225
第3期王健:公路卵形曲线中线及边线坐标的计算721

2不完全缓和曲线上任意点测量坐标的计算

211方法一
建立以O点(ZH点)为原点,以O点处的切线方向为x轴,以垂直于x轴且方向指向曲线内侧的方
向为y轴的坐标系,如图1所示。

A点(YH点)的测量坐标(XA,YA)、切线方位角αA、曲线AB的长l、B点(HY点)的半径R2为
设计给出或根据已知条件很容易得到。
由完全缓和曲线的性质可得:

l×R2
O点至A点的曲线长:l0=
R1-R2
A点在xOy坐标系中的相对坐标为:
59
l0l0
xA=l0-+
40C23456C4
(1)
3711
l0l0l0
yA=-+
6C336C342240C5
2
l0
A点切线与x轴的夹角为:β=(弧度)
A2C

设AB上任意一点P至A的曲线长为li,则有:
P点在xOy坐标系中的相对坐标为:
59
(l0+li)(l0+li)
xp=(l0+li)-+
40C23456C4
(2)
3711
(l0+li)(l0+li)(l0+li)
yA=-+
6C336C342240C5
2
(l0+li)
P点切线与x轴的夹角为:β=(弧度)
p2C
所以P点处切线的方位角为:
180180
ααβ×β×(曲线右转)
PQ=A-Aπ+pπ
(3)
180180
ααβ×β×(曲线左转)
PQ=A+Aπ-pπ
法线方位角为:
180180
α=α-β×+β×+90°(曲线右转)
PFAAπpπ
(4)
180180
α=α+β×-β×+90°(曲线左转)
PFAAπpπ
P点的测量坐标为:
曲线右转时:
X=X+(x-x)cos(α-β×180/π)-(y-y)sin(α-β×180/π)
pApAAApAAA(5)
Yp=YA+(yp-yA)cos(αA-βA×180/π)+(xp-xA)sin(αA-βA×180/π)
曲线左转时:
X=X+(x-x)cos(α+β×180/π)+(y-y)sin(α+β×180/π)
pApAAApAAA(6)
Yp=YA-(yp-yA)cos(αA+βA×180/π)+(xp-xA)sin(αA+βA×180/π)
212方法二
建立以A点(YH点)为原点,以A点处的切线方向为x轴,以垂直于x轴且方向指向曲线内侧的方
向为y轴的坐标系,如图2所示。
821河北理工学院学报第28卷

缓和曲线上任意点P到原点A的曲线长为li,P点切线与x轴的夹角为β,所以曲线AP对应的螺旋角
为β。在P处任意取一微分弧段dl,dl对应的中心角为dβ,dl在坐标轴上的投影分别为dx和dy。该缓和

l×R2
曲线所对应的完整缓和曲线上从半径为+∞到R1的弧长l0=,根据缓和曲线的特性可得P点处的
R1-R2
C
曲率半径ρ=。
l0+li
P点处微分弧段dl对应的中心角为:

1l0+li
dβ=dl=dl
ρC

积分上式得到弧长li所对应的螺旋角为:

li2
l0+lli
β=dl=(l0li+)/C(弧度)
∫0C2
所以,
2
li
dx=cosβdl=cos[(ll+)/C]dl
0i2
(7)
2
l